MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0eusgraiff0rgra Structured version   Unicode version

Theorem 0eusgraiff0rgra 24601
Description: An undirected simple graph is 0-regular iff it has no edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
0eusgraiff0rgra  |-  ( V USGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. RegGrph  0  <->  E  =  (/) ) )

Proof of Theorem 0eusgraiff0rgra
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rgraprop 24590 . . . 4  |-  ( <. V ,  E >. RegGrph  0  ->  ( 0  e. 
NN0  /\  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  0 ) )
2 usgravd00 24581 . . . . . 6  |-  ( V USGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  0  ->  E  =  (/) ) )
32com12 31 . . . . 5  |-  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  0  ->  ( V USGrph  E  ->  E  =  (/) ) )
43adantl 466 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  0 )  ->  ( V USGrph  E  ->  E  =  (/) ) )
51, 4syl 16 . . 3  |-  ( <. V ,  E >. RegGrph  0  ->  ( V USGrph  E  ->  E  =  (/) ) )
65com12 31 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. RegGrph  0  ->  E  =  (/) ) )
7 usgrav 24001 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
8 0egra0rgra 24598 . . . . . 6  |-  A. v <. v ,  (/) >. RegGrph  0
9 id 22 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  _V  ->  V  e.  _V )
10 opeq1 4206 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  V  ->  <. v ,  (/) >.  =  <. V ,  (/) >. )
1110breq1d 4450 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  V  ->  ( <. v ,  (/) >. RegGrph  0  <->  <. V ,  (/) >. RegGrph  0 )
)
1211adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  _V  /\  v  =  V )  ->  ( <. v ,  (/) >. RegGrph  0  <->  <. V ,  (/) >. RegGrph  0 ) )
139, 12spcdv 3189 . . . . . 6  |-  ( V  e.  _V  ->  ( A. v <. v ,  (/) >. RegGrph  0  ->  <. V ,  (/) >. RegGrph  0 ) )
148, 13mpi 17 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  <. V ,  (/)
>. RegGrph  0 )
15 opeq2 4207 . . . . . 6  |-  ( E  =  (/)  ->  <. V ,  E >.  =  <. V ,  (/)
>. )
1615breq1d 4450 . . . . 5  |-  ( E  =  (/)  ->  ( <. V ,  E >. RegGrph  0  <->  <. V ,  (/) >. RegGrph  0 ) )
1714, 16syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( V  e.  _V  ->  ( E  =  (/)  ->  <. V ,  E >. RegGrph  0 ) )
1817adantr 465 . . 3  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( E  =  (/)  -> 
<. V ,  E >. RegGrph  0 ) )
197, 18syl 16 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( E  =  (/)  ->  <. V ,  E >. RegGrph  0 ) )
206, 19impbid 191 1  |-  ( V USGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. RegGrph  0  <->  E  =  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1372    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   _Vcvv 3106   (/)c0 3778   <.cop 4026   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   0cc0 9481   NN0cn0 10784   USGrph cusg 23993   VDeg cvdg 24555   RegGrph crgra 24584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-xadd 11308  df-fz 11662  df-hash 12361  df-usgra 23996  df-vdgr 24556  df-rgra 24586
This theorem is referenced by:  0eusgraiff0rgracl  24603  rusgra0edg  24617
  Copyright terms: Public domain W3C validator