MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0eusgraiff0rgra Structured version   Unicode version

Theorem 0eusgraiff0rgra 25356
Description: An undirected simple graph is 0-regular iff it has no edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
0eusgraiff0rgra  |-  ( V USGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. RegGrph  0  <->  E  =  (/) ) )

Proof of Theorem 0eusgraiff0rgra
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rgraprop 25345 . . . 4  |-  ( <. V ,  E >. RegGrph  0  ->  ( 0  e. 
NN0  /\  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  0 ) )
2 usgravd00 25336 . . . . . 6  |-  ( V USGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  0  ->  E  =  (/) ) )
32com12 29 . . . . 5  |-  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  0  ->  ( V USGrph  E  ->  E  =  (/) ) )
43adantl 464 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  0 )  ->  ( V USGrph  E  ->  E  =  (/) ) )
51, 4syl 17 . . 3  |-  ( <. V ,  E >. RegGrph  0  ->  ( V USGrph  E  ->  E  =  (/) ) )
65com12 29 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. RegGrph  0  ->  E  =  (/) ) )
7 usgrav 24755 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
8 0egra0rgra 25353 . . . . . 6  |-  A. v <. v ,  (/) >. RegGrph  0
9 opeq1 4159 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  V  ->  <. v ,  (/) >.  =  <. V ,  (/) >. )
109breq1d 4405 . . . . . . 7  |-  ( v  =  V  ->  ( <. v ,  (/) >. RegGrph  0  <->  <. V ,  (/) >. RegGrph  0 )
)
1110spcgv 3144 . . . . . 6  |-  ( V  e.  _V  ->  ( A. v <. v ,  (/) >. RegGrph  0  ->  <. V ,  (/) >. RegGrph  0 ) )
128, 11mpi 20 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  <. V ,  (/)
>. RegGrph  0 )
13 opeq2 4160 . . . . . 6  |-  ( E  =  (/)  ->  <. V ,  E >.  =  <. V ,  (/)
>. )
1413breq1d 4405 . . . . 5  |-  ( E  =  (/)  ->  ( <. V ,  E >. RegGrph  0  <->  <. V ,  (/) >. RegGrph  0 ) )
1512, 14syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( V  e.  _V  ->  ( E  =  (/)  ->  <. V ,  E >. RegGrph  0 ) )
1615adantr 463 . . 3  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( E  =  (/)  -> 
<. V ,  E >. RegGrph  0 ) )
177, 16syl 17 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( E  =  (/)  ->  <. V ,  E >. RegGrph  0 ) )
186, 17impbid 190 1  |-  ( V USGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. RegGrph  0  <->  E  =  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367   A.wal 1403    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   _Vcvv 3059   (/)c0 3738   <.cop 3978   class class class wbr 4395   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   0cc0 9522   NN0cn0 10836   USGrph cusg 24747   VDeg cvdg 25310   RegGrph crgra 25339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-xadd 11372  df-fz 11727  df-hash 12453  df-usgra 24750  df-vdgr 25311  df-rgra 25341
This theorem is referenced by:  0eusgraiff0rgracl  25358  rusgra0edg  25372
  Copyright terms: Public domain W3C validator