MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0elunit Structured version   Unicode version

Theorem 0elunit 11663
Description: Zero is an element of the closed unit. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
0elunit  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)

Proof of Theorem 0elunit
StepHypRef Expression
1 0re 9613 . 2  |-  0  e.  RR
2 0le0 10646 . 2  |-  0  <_  0
3 0le1 10097 . 2  |-  0  <_  1
4 1re 9612 . . 3  |-  1  e.  RR
51, 4elicc2i 11615 . 2  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0  /\  0  <_ 
1 ) )
61, 2, 3, 5mpbir3an 1178 1  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1819   class class class wbr 4456  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    <_ cle 9646   [,]cicc 11557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-icc 11561
This theorem is referenced by:  xrhmeo  21572  htpycom  21602  htpyid  21603  htpyco1  21604  htpyco2  21605  htpycc  21606  phtpy01  21611  phtpycom  21614  phtpyid  21615  phtpyco2  21616  phtpycc  21617  reparphti  21623  pcocn  21643  pcohtpylem  21645  pcoptcl  21647  pcopt  21648  pcopt2  21649  pcoass  21650  pcorevcl  21651  pcorevlem  21652  pi1xfrf  21679  pi1xfr  21681  pi1xfrcnvlem  21682  pi1xfrcnv  21683  pi1cof  21685  pi1coghm  21687  dvlipcn  22521  ttgcontlem1  24315  brbtwn2  24335  axsegconlem1  24347  axpaschlem  24370  axcontlem7  24400  axcontlem8  24401  xrge0iifcnv  28076  xrge0iifiso  28078  xrge0iifhom  28080  lgamgulmlem2  28769  cnpcon  28872  pconcon  28873  txpcon  28874  ptpcon  28875  indispcon  28876  conpcon  28877  sconpi1  28881  txsconlem  28882  txscon  28883  cvxpcon  28884  cvxscon  28885  cvmliftlem14  28939  cvmlift2lem2  28946  cvmlift2lem3  28947  cvmlift2lem8  28952  cvmlift2lem12  28956  cvmlift2lem13  28957  cvmliftphtlem  28959  cvmliftpht  28960  cvmlift3lem1  28961  cvmlift3lem2  28962  cvmlift3lem4  28964  cvmlift3lem5  28965  cvmlift3lem6  28966  cvmlift3lem9  28969
  Copyright terms: Public domain W3C validator