MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0elunit Structured version   Unicode version

Theorem 0elunit 11390
Description: Zero is an element of the closed unit. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
0elunit  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)

Proof of Theorem 0elunit
StepHypRef Expression
1 0re 9374 . 2  |-  0  e.  RR
2 0le0 10399 . 2  |-  0  <_  0
3 0le1 9851 . 2  |-  0  <_  1
4 1re 9373 . . 3  |-  1  e.  RR
51, 4elicc2i 11349 . 2  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0  /\  0  <_ 
1 ) )
61, 2, 3, 5mpbir3an 1163 1  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1755   class class class wbr 4280  (class class class)co 6080   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271    <_ cle 9407   [,]cicc 11291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-icc 11295
This theorem is referenced by:  xrhmeo  20360  htpycom  20390  htpyid  20391  htpyco1  20392  htpyco2  20393  htpycc  20394  phtpy01  20399  phtpycom  20402  phtpyid  20403  phtpyco2  20404  phtpycc  20405  reparphti  20411  pcocn  20431  pcohtpylem  20433  pcoptcl  20435  pcopt  20436  pcopt2  20437  pcoass  20438  pcorevcl  20439  pcorevlem  20440  pi1xfrf  20467  pi1xfr  20469  pi1xfrcnvlem  20470  pi1xfrcnv  20471  pi1cof  20473  pi1coghm  20475  dvlipcn  21308  ttgcontlem1  22954  brbtwn2  22974  axsegconlem1  22986  axpaschlem  23009  axcontlem7  23039  axcontlem8  23040  xrge0iifcnv  26217  xrge0iifiso  26219  xrge0iifhom  26221  lgamgulmlem2  26864  cnpcon  26967  pconcon  26968  txpcon  26969  ptpcon  26970  indispcon  26971  conpcon  26972  sconpi1  26976  txsconlem  26977  txscon  26978  cvxpcon  26979  cvxscon  26980  cvmliftlem14  27034  cvmlift2lem2  27041  cvmlift2lem3  27042  cvmlift2lem8  27047  cvmlift2lem12  27051  cvmlift2lem13  27052  cvmliftphtlem  27054  cvmliftpht  27055  cvmlift3lem1  27056  cvmlift3lem2  27057  cvmlift3lem4  27059  cvmlift3lem5  27060  cvmlift3lem6  27061  cvmlift3lem9  27064
  Copyright terms: Public domain W3C validator