MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0elunit Structured version   Unicode version

Theorem 0elunit 11504
Description: Zero is an element of the closed unit. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
0elunit  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)

Proof of Theorem 0elunit
StepHypRef Expression
1 0re 9487 . 2  |-  0  e.  RR
2 0le0 10512 . 2  |-  0  <_  0
3 0le1 9964 . 2  |-  0  <_  1
4 1re 9486 . . 3  |-  1  e.  RR
51, 4elicc2i 11462 . 2  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0  /\  0  <_ 
1 ) )
61, 2, 3, 5mpbir3an 1170 1  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1758   class class class wbr 4390  (class class class)co 6190   RRcr 9382   0cc0 9383   1c1 9384    <_ cle 9520   [,]cicc 11404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-icc 11408
This theorem is referenced by:  xrhmeo  20634  htpycom  20664  htpyid  20665  htpyco1  20666  htpyco2  20667  htpycc  20668  phtpy01  20673  phtpycom  20676  phtpyid  20677  phtpyco2  20678  phtpycc  20679  reparphti  20685  pcocn  20705  pcohtpylem  20707  pcoptcl  20709  pcopt  20710  pcopt2  20711  pcoass  20712  pcorevcl  20713  pcorevlem  20714  pi1xfrf  20741  pi1xfr  20743  pi1xfrcnvlem  20744  pi1xfrcnv  20745  pi1cof  20747  pi1coghm  20749  dvlipcn  21582  ttgcontlem1  23266  brbtwn2  23286  axsegconlem1  23298  axpaschlem  23321  axcontlem7  23351  axcontlem8  23352  xrge0iifcnv  26497  xrge0iifiso  26499  xrge0iifhom  26501  lgamgulmlem2  27150  cnpcon  27253  pconcon  27254  txpcon  27255  ptpcon  27256  indispcon  27257  conpcon  27258  sconpi1  27262  txsconlem  27263  txscon  27264  cvxpcon  27265  cvxscon  27266  cvmliftlem14  27320  cvmlift2lem2  27327  cvmlift2lem3  27328  cvmlift2lem8  27333  cvmlift2lem12  27337  cvmlift2lem13  27338  cvmliftphtlem  27340  cvmliftpht  27341  cvmlift3lem1  27342  cvmlift3lem2  27343  cvmlift3lem4  27345  cvmlift3lem5  27346  cvmlift3lem6  27347  cvmlift3lem9  27350
  Copyright terms: Public domain W3C validator