MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0elunit Structured version   Unicode version

Theorem 0elunit 11395
Description: Zero is an element of the closed unit. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
0elunit  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)

Proof of Theorem 0elunit
StepHypRef Expression
1 0re 9378 . 2  |-  0  e.  RR
2 0le0 10403 . 2  |-  0  <_  0
3 0le1 9855 . 2  |-  0  <_  1
4 1re 9377 . . 3  |-  1  e.  RR
51, 4elicc2i 11353 . 2  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0  /\  0  <_ 
1 ) )
61, 2, 3, 5mpbir3an 1170 1  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1756   class class class wbr 4287  (class class class)co 6086   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    <_ cle 9411   [,]cicc 11295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-icc 11299
This theorem is referenced by:  xrhmeo  20498  htpycom  20528  htpyid  20529  htpyco1  20530  htpyco2  20531  htpycc  20532  phtpy01  20537  phtpycom  20540  phtpyid  20541  phtpyco2  20542  phtpycc  20543  reparphti  20549  pcocn  20569  pcohtpylem  20571  pcoptcl  20573  pcopt  20574  pcopt2  20575  pcoass  20576  pcorevcl  20577  pcorevlem  20578  pi1xfrf  20605  pi1xfr  20607  pi1xfrcnvlem  20608  pi1xfrcnv  20609  pi1cof  20611  pi1coghm  20613  dvlipcn  21446  ttgcontlem1  23099  brbtwn2  23119  axsegconlem1  23131  axpaschlem  23154  axcontlem7  23184  axcontlem8  23185  xrge0iifcnv  26332  xrge0iifiso  26334  xrge0iifhom  26336  lgamgulmlem2  26985  cnpcon  27088  pconcon  27089  txpcon  27090  ptpcon  27091  indispcon  27092  conpcon  27093  sconpi1  27097  txsconlem  27098  txscon  27099  cvxpcon  27100  cvxscon  27101  cvmliftlem14  27155  cvmlift2lem2  27162  cvmlift2lem3  27163  cvmlift2lem8  27168  cvmlift2lem12  27172  cvmlift2lem13  27173  cvmliftphtlem  27175  cvmliftpht  27176  cvmlift3lem1  27177  cvmlift3lem2  27178  cvmlift3lem4  27180  cvmlift3lem5  27181  cvmlift3lem6  27182  cvmlift3lem9  27185
  Copyright terms: Public domain W3C validator