MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0elunit Structured version   Unicode version

Theorem 0elunit 11752
Description: Zero is an element of the closed unit. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
0elunit  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)

Proof of Theorem 0elunit
StepHypRef Expression
1 0re 9645 . 2  |-  0  e.  RR
2 0le0 10701 . 2  |-  0  <_  0
3 0le1 10139 . 2  |-  0  <_  1
4 1re 9644 . . 3  |-  1  e.  RR
51, 4elicc2i 11702 . 2  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0  /\  0  <_ 
1 ) )
61, 2, 3, 5mpbir3an 1188 1  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1869   class class class wbr 4421  (class class class)co 6303   RRcr 9540   0cc0 9541   1c1 9542    <_ cle 9678   [,]cicc 11640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-icc 11644
This theorem is referenced by:  xrhmeo  21966  htpycom  21999  htpyid  22000  htpyco1  22001  htpyco2  22002  htpycc  22003  phtpy01  22008  phtpycom  22011  phtpyid  22012  phtpyco2  22013  phtpycc  22014  reparphti  22020  pcocn  22040  pcohtpylem  22042  pcoptcl  22044  pcopt  22045  pcopt2  22046  pcoass  22047  pcorevcl  22048  pcorevlem  22049  pi1xfrf  22076  pi1xfr  22078  pi1xfrcnvlem  22079  pi1xfrcnv  22080  pi1cof  22082  pi1coghm  22084  dvlipcn  22938  lgamgulmlem2  23947  ttgcontlem1  24907  brbtwn2  24927  axsegconlem1  24939  axpaschlem  24962  axcontlem7  24992  axcontlem8  24993  xrge0iifcnv  28741  xrge0iifiso  28743  xrge0iifhom  28745  cnpcon  29955  pconcon  29956  txpcon  29957  ptpcon  29958  indispcon  29959  conpcon  29960  sconpi1  29964  txsconlem  29965  txscon  29966  cvxpcon  29967  cvxscon  29968  cvmliftlem14  30022  cvmlift2lem2  30029  cvmlift2lem3  30030  cvmlift2lem8  30035  cvmlift2lem12  30039  cvmlift2lem13  30040  cvmliftphtlem  30042  cvmliftpht  30043  cvmlift3lem1  30044  cvmlift3lem2  30045  cvmlift3lem4  30047  cvmlift3lem5  30048  cvmlift3lem6  30049  cvmlift3lem9  30052
  Copyright terms: Public domain W3C validator