MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0elpw Structured version   Unicode version

Theorem 0elpw 4616
Description: Every power class contains the empty set. (Contributed by NM, 25-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
0elpw  |-  (/)  e.  ~P A

Proof of Theorem 0elpw
StepHypRef Expression
1 0ss 3814 . 2  |-  (/)  C_  A
2 0ex 4577 . . 3  |-  (/)  e.  _V
32elpw 4016 . 2  |-  ( (/)  e.  ~P A  <->  (/)  C_  A
)
41, 3mpbir 209 1  |-  (/)  e.  ~P A
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1767    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-nul 4576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-v 3115  df-dif 3479  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-pw 4012
This theorem is referenced by:  pwne0  4617  marypha1lem  7889  brwdom2  7995  canthwdom  8001  pwcdadom  8592  isfin1-3  8762  canthp1lem2  9027  ixxssxr  11537  incexc  13605  smupf  13980  hashbc0  14375  ramz2  14394  mreexexlem3d  14894  acsfn  14907  isdrs2  15419  fpwipodrs  15644  clsval2  19314  mretopd  19356  alexsubALTlem2  20280  alexsubALTlem4  20282  eupath2  24653  esum0  27697  esumcst  27708  esumpcvgval  27721  prsiga  27768  kur14  28297  0hf  29408  comppfsc  29777  0totbnd  29870  heiborlem6  29913  istopclsd  30234  lincval0  32089  lco0  32101  linds0  32139  bj-tagss  33619
  Copyright terms: Public domain W3C validator