Theorem 0ellim 3726

Description: A limit ordinal contains the empty set.

Assertion

Ref	Expression
0ellim	|- (Lim A -> (/) e. A)

Proof of Theorem 0ellim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlim0 3721	. . . 4 |- -. Lim (/)
2		limeq 3669	. . . 4 |- (A = (/) -> (Lim A <-> Lim (/)))
3	1, 2	mtbiri 785	. . 3 |- (A = (/) -> -. Lim A)
4	3	necon2ai 2051	. 2 |- (Lim A -> A =/= (/))
5		limord 3723	. . 3 |- (Lim A -> Ord A)
6		ord0eln0 3717	. . 3 |- (Ord A -> ((/) e. A <-> A =/= (/)))
7	5, 6	syl 12	. 2 |- (Lim A -> ((/) e. A <-> A =/= (/)))
8	4, 7	mpbird 213	1 |- (Lim A -> (/) e. A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  (/)c0 2875  Ord word 3656  Lim wlim 3658

This theorem is referenced by:  limuni3 3936  peano1 3971  oe1m 5226  oalimcl 5242  oaass 5243  oarec 5244  omlimcl 5257  odi 5258  oen0 5261  oewordri 5267  oelim2 5270  oeoalem 5271  oeoelem 5273  limensuci 5600  rankxplim2 5824  rankxplim3 5825  omsublim 5887  omsublimOLD 15396

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-lim 3662

Copyright terms: Public domain