MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0e0icopnf Structured version   Unicode version

Theorem 0e0icopnf 11633
Description: 0 is a member of  ( 0 [,) +oo ) (common case). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
0e0icopnf  |-  0  e.  ( 0 [,) +oo )

Proof of Theorem 0e0icopnf
StepHypRef Expression
1 0re 9585 . 2  |-  0  e.  RR
2 0le0 10621 . 2  |-  0  <_  0
3 elrege0 11630 . 2  |-  ( 0  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_ 
0 ) )
41, 2, 3mpbir2an 918 1  |-  0  e.  ( 0 [,) +oo )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1823   class class class wbr 4439  (class class class)co 6270   RRcr 9480   0cc0 9481   +oocpnf 9614    <_ cle 9618   [,)cico 11534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-ico 11538
This theorem is referenced by:  fsumge0  13691  rege0subm  18669  rge0srg  18682  itg2cnlem1  22334  ibladdlem  22392  itgaddlem1  22395  iblabslem  22400  iblabs  22401  iblmulc2  22403  itgmulc2lem1  22404  bddmulibl  22411  itggt0  22414  itgcn  22415  cxpcn3  23290  rlimcnp3  23495  efrlim  23497  fsumrp0cl  27919  xrge0slmod  28069  esumpfinvallem  28303  ibladdnclem  30311  itgaddnclem1  30313  iblabsnclem  30318  iblabsnc  30319  iblmulc2nc  30320  itgmulc2nclem1  30321  itggt0cn  30327  ftc1anclem8  30337  fprodge0  31836  dig0  33481
  Copyright terms: Public domain W3C validator