MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0e0icopnf Structured version   Unicode version

Theorem 0e0icopnf 11639
Description: 0 is a member of  ( 0 [,) +oo ) (common case). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
0e0icopnf  |-  0  e.  ( 0 [,) +oo )

Proof of Theorem 0e0icopnf
StepHypRef Expression
1 0re 9599 . 2  |-  0  e.  RR
2 0le0 10631 . 2  |-  0  <_  0
3 elrege0 11636 . 2  |-  ( 0  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_ 
0 ) )
41, 2, 3mpbir2an 920 1  |-  0  e.  ( 0 [,) +oo )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1804   class class class wbr 4437  (class class class)co 6281   RRcr 9494   0cc0 9495   +oocpnf 9628    <_ cle 9632   [,)cico 11540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-ico 11544
This theorem is referenced by:  fsumge0  13588  rege0subm  18348  rge0srg  18361  itg2cnlem1  22041  ibladdlem  22099  itgaddlem1  22102  iblabslem  22107  iblabs  22108  iblmulc2  22110  itgmulc2lem1  22111  bddmulibl  22118  itggt0  22121  itgcn  22122  cxpcn3  22994  rlimcnp3  23169  efrlim  23171  fsumrp0cl  27558  xrge0slmod  27707  esumpfinvallem  27953  ibladdnclem  30046  itgaddnclem1  30048  iblabsnclem  30053  iblabsnc  30054  iblmulc2nc  30055  itgmulc2nclem1  30056  itggt0cn  30062  ftc1anclem8  30072
  Copyright terms: Public domain W3C validator