MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0e0icopnf Structured version   Unicode version

Theorem 0e0icopnf 11394
Description: 0 is a member of  ( 0 [,) +oo ) (common case). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
0e0icopnf  |-  0  e.  ( 0 [,) +oo )

Proof of Theorem 0e0icopnf
StepHypRef Expression
1 0re 9385 . 2  |-  0  e.  RR
21leidi 9873 . 2  |-  0  <_  0
3 elrege0 11391 . 2  |-  ( 0  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_ 
0 ) )
41, 2, 3mpbir2an 911 1  |-  0  e.  ( 0 [,) +oo )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1756   class class class wbr 4291  (class class class)co 6090   RRcr 9280   0cc0 9281   +oocpnf 9414    <_ cle 9418   [,)cico 11301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-ico 11305
This theorem is referenced by:  fsumge0  13257  rege0subm  17868  rge0srg  17881  itg2cnlem1  21238  ibladdlem  21296  itgaddlem1  21299  iblabslem  21304  iblabs  21305  iblmulc2  21307  itgmulc2lem1  21308  bddmulibl  21315  itggt0  21318  itgcn  21319  cxpcn3  22185  rlimcnp3  22360  efrlim  22362  fsumrp0cl  26157  xrge0slmod  26311  esumpfinvallem  26522  ibladdnclem  28446  itgaddnclem1  28448  iblabsnclem  28453  iblabsnc  28454  iblmulc2nc  28455  itgmulc2nclem1  28456  itggt0cn  28462  ftc1anclem8  28472
  Copyright terms: Public domain W3C validator