MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0e0iccpnf Structured version   Unicode version

Theorem 0e0iccpnf 11643
Description: 0 is a member of  ( 0 [,] +oo ) (common case). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
0e0iccpnf  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )

Proof of Theorem 0e0iccpnf
StepHypRef Expression
1 0xr 9652 . 2  |-  0  e.  RR*
2 0le0 10637 . 2  |-  0  <_  0
3 elxrge0 11641 . 2  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( 0  e. 
RR*  /\  0  <_  0 ) )
41, 2, 3mpbir2an 918 1  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1767   class class class wbr 4453  (class class class)co 6295   0cc0 9504   +oocpnf 9637   RR*cxr 9639    <_ cle 9641   [,]cicc 11544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-icc 11548
This theorem is referenced by:  xrge0subm  18329  itg2const2  22016  itg2splitlem  22023  itg2split  22024  itg2gt0  22035  itg2cnlem2  22037  itg2cn  22038  iblss  22079  itgle  22084  itgeqa  22088  ibladdlem  22094  iblabs  22103  iblabsr  22104  iblmulc2  22105  bddmulibl  22113  xrge00  27498  unitssxrge0  27707  xrge0mulc1cn  27748  esum0  27885  esumpinfval  27904  esummulc1  27912  ddemeas  28033  itg2gt0cn  29997  ibladdnclem  29998  iblabsnc  30006  iblmulc2nc  30007  bddiblnc  30012  ftc1anclem7  30023  ftc1anclem8  30024  ftc1anc  30025
  Copyright terms: Public domain W3C validator