MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0e0iccpnf Structured version   Unicode version

Theorem 0e0iccpnf 11640
Description: 0 is a member of  ( 0 [,] +oo ) (common case). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
0e0iccpnf  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )

Proof of Theorem 0e0iccpnf
StepHypRef Expression
1 0xr 9643 . 2  |-  0  e.  RR*
2 0le0 10631 . 2  |-  0  <_  0
3 elxrge0 11638 . 2  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( 0  e. 
RR*  /\  0  <_  0 ) )
41, 2, 3mpbir2an 920 1  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1804   class class class wbr 4437  (class class class)co 6281   0cc0 9495   +oocpnf 9628   RR*cxr 9630    <_ cle 9632   [,]cicc 11541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-icc 11545
This theorem is referenced by:  xrge0subm  18333  itg2const2  22021  itg2splitlem  22028  itg2split  22029  itg2gt0  22040  itg2cnlem2  22042  itg2cn  22043  iblss  22084  itgle  22089  itgeqa  22093  ibladdlem  22099  iblabs  22108  iblabsr  22109  iblmulc2  22110  bddmulibl  22118  xrge0infss  27452  xrge00  27547  unitssxrge0  27755  xrge0mulc1cn  27796  esum0  27933  esumpinfval  27952  esummulc1  27960  ddemeas  28081  oms0  28139  itg2gt0cn  30045  ibladdnclem  30046  iblabsnc  30054  iblmulc2nc  30055  bddiblnc  30060  ftc1anclem7  30071  ftc1anclem8  30072  ftc1anc  30073  iblsplit  31655
  Copyright terms: Public domain W3C validator