MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0e0iccpnf Structured version   Unicode version

Theorem 0e0iccpnf 11395
Description: 0 is a member of  ( 0 [,] +oo ) (common case). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
0e0iccpnf  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )

Proof of Theorem 0e0iccpnf
StepHypRef Expression
1 0xr 9429 . 2  |-  0  e.  RR*
2 0le0 10410 . 2  |-  0  <_  0
3 elxrge0 11393 . 2  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( 0  e. 
RR*  /\  0  <_  0 ) )
41, 2, 3mpbir2an 911 1  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1756   class class class wbr 4291  (class class class)co 6090   0cc0 9281   +oocpnf 9414   RR*cxr 9416    <_ cle 9418   [,]cicc 11302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-icc 11306
This theorem is referenced by:  xrge0subm  17853  itg2const2  21218  itg2splitlem  21225  itg2split  21226  itg2gt0  21237  itg2cnlem2  21239  itg2cn  21240  iblss  21281  itgle  21286  itgeqa  21290  ibladdlem  21296  iblabs  21305  iblabsr  21306  iblmulc2  21307  bddmulibl  21315  xrge00  26146  unitssxrge0  26329  xrge0mulc1cn  26370  esum0  26502  esumpinfval  26521  esummulc1  26529  ddemeas  26651  itg2gt0cn  28445  ibladdnclem  28446  iblabsnc  28454  iblmulc2nc  28455  bddiblnc  28460  ftc1anclem7  28471  ftc1anclem8  28472  ftc1anc  28473
  Copyright terms: Public domain W3C validator