MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0dvds Structured version   Unicode version

Theorem 0dvds 13545
Description: Only 0 is divisible by 0 . (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
0dvds  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  N  <->  N  = 
0 ) )

Proof of Theorem 0dvds
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 10649 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
2 divides 13529 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  (
n  x.  0 )  =  N ) )
31, 2mpan 670 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( n  x.  0 )  =  N ) )
4 zcn 10643 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  CC )
54mul01d 9560 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
n  x.  0 )  =  0 )
6 eqtr2 2456 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  x.  0 )  =  N  /\  ( n  x.  0
)  =  0 )  ->  N  =  0 )
75, 6sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( ( n  x.  0 )  =  N  /\  n  e.  ZZ )  ->  N  =  0 )
87ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  ( n  x.  0
)  =  N )  ->  N  =  0 )
98rexlimiva 2831 . . 3  |-  ( E. n  e.  ZZ  (
n  x.  0 )  =  N  ->  N  =  0 )
103, 9syl6bi 228 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  N  ->  N  =  0 ) )
11 dvds0 13540 . . . 4  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  0  ||  0 )
121, 11ax-mp 5 . . 3  |-  0  ||  0
13 breq2 4291 . . 3  |-  ( N  =  0  ->  (
0  ||  N  <->  0  ||  0 ) )
1412, 13mpbiri 233 . 2  |-  ( N  =  0  ->  0  ||  N )
1510, 14impbid1 203 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  N  <->  N  = 
0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2711   class class class wbr 4287  (class class class)co 6086   0cc0 9274    x. cmul 9279   ZZcz 10638    || cdivides 13527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-ltxr 9415  df-neg 9590  df-z 10639  df-dvds 13528
This theorem is referenced by:  fsumdvds  13568  dvdseq  13572  dvdssq  13736  rpdvds  13802  pcdvdstr  13934  pc2dvds  13937  mndodcongi  16037  oddvdsnn0  16038  oddvds  16041  odmulgeq  16049  odf1  16054  odf1o1  16062  gexdvds  16074  gexnnod  16078  torsubg  16327  znf1o  17959  jm2.19  29295
  Copyright terms: Public domain W3C validator