MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0dvds Structured version   Unicode version

Theorem 0dvds 14088
Description: Only 0 is divisible by 0 . (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
0dvds  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  N  <->  N  = 
0 ) )

Proof of Theorem 0dvds
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 10871 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
2 divides 14072 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  (
n  x.  0 )  =  N ) )
31, 2mpan 668 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( n  x.  0 )  =  N ) )
4 zcn 10865 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  CC )
54mul01d 9768 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
n  x.  0 )  =  0 )
6 eqtr2 2481 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  x.  0 )  =  N  /\  ( n  x.  0
)  =  0 )  ->  N  =  0 )
75, 6sylan2 472 . . . . 5  |-  ( ( ( n  x.  0 )  =  N  /\  n  e.  ZZ )  ->  N  =  0 )
87ancoms 451 . . . 4  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  ( n  x.  0
)  =  N )  ->  N  =  0 )
98rexlimiva 2942 . . 3  |-  ( E. n  e.  ZZ  (
n  x.  0 )  =  N  ->  N  =  0 )
103, 9syl6bi 228 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  N  ->  N  =  0 ) )
11 dvds0 14083 . . . 4  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  0  ||  0 )
121, 11ax-mp 5 . . 3  |-  0  ||  0
13 breq2 4443 . . 3  |-  ( N  =  0  ->  (
0  ||  N  <->  0  ||  0 ) )
1412, 13mpbiri 233 . 2  |-  ( N  =  0  ->  0  ||  N )
1510, 14impbid1 203 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  N  <->  N  = 
0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1398    e. wcel 1823   E.wrex 2805   class class class wbr 4439  (class class class)co 6270   0cc0 9481    x. cmul 9486   ZZcz 10860    || cdvds 14070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-ltxr 9622  df-neg 9799  df-z 10861  df-dvds 14071
This theorem is referenced by:  fsumdvds  14113  dvdseq  14117  dvdssq  14282  rpdvds  14349  pcdvdstr  14483  pc2dvds  14486  mndodcongi  16766  oddvdsnn0  16767  oddvds  16770  odmulgeq  16778  odf1  16783  odf1o1  16791  gexdvds  16803  gexnnod  16807  torsubg  17059  znf1o  18763  jm2.19  31174  nzss  31463
  Copyright terms: Public domain W3C validator