MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0domg Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem 0domg 7717
Description: Any set dominates the empty set. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
0domg  |-  ( A  e.  V  ->  (/)  ~<_  A )

Proof of Theorem 0domg
StepHypRef Expression
1 0ss 3766 . 2  |-  (/)  C_  A
2 ssdomg 7633 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( (/)  C_  A  ->  (/)  ~<_  A ) )
31, 2mpi 20 1  |-  ( A  e.  V  ->  (/)  ~<_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1904    C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395    ~<_ cdom 7585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-dom 7589
This theorem is referenced by:  dom0  7718  0sdomg  7719  0dom  7720  sdom0  7722  carddomi2  8422  wdomfil  8510  wdomnumr  8513  hashge0  12604  ufildom1  21019  harn0  36032
  Copyright terms: Public domain W3C validator