MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0domg Structured version   Unicode version

Theorem 0domg 7644
Description: Any set dominates the empty set. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
0domg  |-  ( A  e.  V  ->  (/)  ~<_  A )

Proof of Theorem 0domg
StepHypRef Expression
1 0ss 3814 . 2  |-  (/)  C_  A
2 ssdomg 7561 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( (/)  C_  A  ->  (/)  ~<_  A ) )
31, 2mpi 17 1  |-  ( A  e.  V  ->  (/)  ~<_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767    C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447    ~<_ cdom 7514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-dom 7518
This theorem is referenced by:  dom0  7645  0sdomg  7646  0dom  7647  sdom0  7649  carddomi2  8351  wdomfil  8442  wdomnumr  8445  hashge0  12423  ufildom1  20190  harn0  30683
  Copyright terms: Public domain W3C validator