Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0dioph Structured version   Unicode version

Theorem 0dioph 30877
Description: The null set is Diophantine. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
0dioph  |-  ( A  e.  NN0  ->  (/)  e.  (Dioph `  A ) )

Proof of Theorem 0dioph
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1ne0 9472 . . . . 5  |-  1  =/=  0
21neii 2581 . . . 4  |-  -.  1  =  0
32rgenw 2743 . . 3  |-  A. a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... A ) )  -.  1  =  0
4 rabeq0 3734 . . 3  |-  ( { a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... A ) )  |  1  =  0 }  =  (/)  <->  A. a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... A ) )  -.  1  =  0 )
53, 4mpbir 209 . 2  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... A
) )  |  1  =  0 }  =  (/)
6 ovex 6224 . . . 4  |-  ( 1 ... A )  e. 
_V
7 1z 10811 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
8 mzpconstmpt 30838 . . . 4  |-  ( ( ( 1 ... A
)  e.  _V  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( a  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... A ) ) 
|->  1 )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... A
) ) )
96, 7, 8mp2an 670 . . 3  |-  ( a  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... A
) )  |->  1 )  e.  (mzPoly `  (
1 ... A ) )
10 eq0rabdioph 30875 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( a  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... A ) ) 
|->  1 )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... A
) ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... A ) )  |  1  =  0 }  e.  (Dioph `  A ) )
119, 10mpan2 669 . 2  |-  ( A  e.  NN0  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... A
) )  |  1  =  0 }  e.  (Dioph `  A ) )
125, 11syl5eqelr 2475 1  |-  ( A  e.  NN0  ->  (/)  e.  (Dioph `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732   {crab 2736   _Vcvv 3034   (/)c0 3711    |-> cmpt 4425   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    ^m cmap 7338   0cc0 9403   1c1 9404   NN0cn0 10712   ZZcz 10781   ...cfz 11593  mzPolycmzp 30820  Diophcdioph 30853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-mzpcl 30821  df-mzp 30822  df-dioph 30854
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator