Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0dgrb Structured version   Unicode version

Theorem 0dgrb 22406
 Description: A function has degree zero iff it is a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
0dgrb Poly deg

Proof of Theorem 0dgrb
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . . . . 8 coeff coeff
2 eqid 2467 . . . . . . . 8 deg deg
31, 2coeid 22398 . . . . . . 7 Poly degcoeff
43adantr 465 . . . . . 6 Poly deg degcoeff
5 simplr 754 . . . . . . . . . 10 Poly deg deg
65oveq2d 6300 . . . . . . . . 9 Poly deg deg
76sumeq1d 13486 . . . . . . . 8 Poly deg degcoeff coeff
8 0z 10875 . . . . . . . . . 10
9 exp0 12138 . . . . . . . . . . . . . 14
109adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13 Poly deg
1110oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg coeff coeff
121coef3 22392 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly coeff
13 0nn0 10810 . . . . . . . . . . . . . . 15
14 ffvelrn 6019 . . . . . . . . . . . . . . 15 coeff coeff
1512, 13, 14sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly coeff
1615ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 Poly deg coeff
1716mulid1d 9613 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg coeff coeff
1811, 17eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11 Poly deg coeff coeff
1918, 16eqeltrd 2555 . . . . . . . . . 10 Poly deg coeff
20 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12 coeff coeff
21 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . 12
2220, 21oveq12d 6302 . . . . . . . . . . 11 coeff coeff
2322fsum1 13527 . . . . . . . . . 10 coeff coeff coeff
248, 19, 23sylancr 663 . . . . . . . . 9 Poly deg coeff coeff
2524, 18eqtrd 2508 . . . . . . . 8 Poly deg coeff coeff
267, 25eqtrd 2508 . . . . . . 7 Poly deg degcoeff coeff
2726mpteq2dva 4533 . . . . . 6 Poly deg degcoeff coeff
284, 27eqtrd 2508 . . . . 5 Poly deg coeff
29 fconstmpt 5043 . . . . 5 coeff coeff
3028, 29syl6eqr 2526 . . . 4 Poly deg coeff
3130fveq1d 5868 . . . . . . 7 Poly deg coeff
32 0cn 9588 . . . . . . . 8
33 fvex 5876 . . . . . . . . 9 coeff
3433fvconst2 6116 . . . . . . . 8 coeff coeff
3532, 34ax-mp 5 . . . . . . 7 coeff coeff
3631, 35syl6eq 2524 . . . . . 6 Poly deg coeff
3736sneqd 4039 . . . . 5 Poly deg coeff
3837xpeq2d 5023 . . . 4 Poly deg coeff
3930, 38eqtr4d 2511 . . 3 Poly deg
4039ex 434 . 2 Poly deg
41 plyf 22358 . . . . 5 Poly
42 ffvelrn 6019 . . . . 5
4341, 32, 42sylancl 662 . . . 4 Poly
44 0dgr 22405 . . . 4 deg
4543, 44syl 16 . . 3 Poly deg
46 fveq2 5866 . . . 4 deg deg
4746eqeq1d 2469 . . 3 deg deg
4845, 47syl5ibrcom 222 . 2 Poly deg
4940, 48impbid 191 1 Poly deg
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  csn 4027   cmpt 4505   cxp 4997  wf 5584  cfv 5588  (class class class)co 6284  cc 9490  cc0 9492  c1 9493   cmul 9497  cn0 10795  cz 10864  cfz 11672  cexp 12134  csu 13471  Polycply 22344  coeffccoe 22346  degcdgr 22347 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-0p 21840  df-ply 22348  df-coe 22350  df-dgr 22351 This theorem is referenced by:  dgreq0  22424  dgrcolem2  22433  dgrco  22434  plyrem  22463  fta1  22466  aaliou2  22498  dgrnznn  30717
 Copyright terms: Public domain W3C validator