MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0dgr Structured version   Unicode version

Theorem 0dgr 22808
Description: A constant function has degree 0. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
0dgr  |-  ( A  e.  CC  ->  (deg `  ( CC  X.  { A } ) )  =  0 )

Proof of Theorem 0dgr
Dummy variables  z 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3508 . . . 4  |-  CC  C_  CC
2 plyconst 22769 . . . 4  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( CC  X.  { A }
)  e.  (Poly `  CC ) )
31, 2mpan 668 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  X.  { A }
)  e.  (Poly `  CC ) )
4 0nn0 10806 . . . 4  |-  0  e.  NN0
54a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  0  e.  NN0 )
6 simpl 455 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( 0 ... 0 ) )  ->  A  e.  CC )
7 0z 10871 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
8 exp0 12152 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  CC  ->  (
z ^ 0 )  =  1 )
98oveq2d 6286 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  CC  ->  ( A  x.  ( z ^ 0 ) )  =  ( A  x.  1 ) )
10 mulid1 9582 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
119, 10sylan9eqr 2517 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
z ^ 0 ) )  =  A )
12 simpl 455 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
1311, 12eqeltrd 2542 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
z ^ 0 ) )  e.  CC )
14 oveq2 6278 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
z ^ k )  =  ( z ^
0 ) )
1514oveq2d 6286 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  ( A  x.  ( z ^ k ) )  =  ( A  x.  ( z ^ 0 ) ) )
1615fsum1 13646 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( A  x.  (
z ^ 0 ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( A  x.  (
z ^ k ) )  =  ( A  x.  ( z ^
0 ) ) )
177, 13, 16sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( A  x.  (
z ^ k ) )  =  ( A  x.  ( z ^
0 ) ) )
1817, 11eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( A  x.  (
z ^ k ) )  =  A )
1918mpteq2dva 4525 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( A  x.  ( z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  A ) )
20 fconstmpt 5032 . . . 4  |-  ( CC 
X.  { A }
)  =  ( z  e.  CC  |->  A )
2119, 20syl6reqr 2514 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  X.  { A }
)  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... 0
) ( A  x.  ( z ^ k
) ) ) )
223, 5, 6, 21dgrle 22806 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (deg `  ( CC  X.  { A } ) )  <_ 
0 )
23 dgrcl 22796 . . 3  |-  ( ( CC  X.  { A } )  e.  (Poly `  CC )  ->  (deg `  ( CC  X.  { A } ) )  e. 
NN0 )
24 nn0le0eq0 10820 . . 3  |-  ( (deg
`  ( CC  X.  { A } ) )  e.  NN0  ->  ( (deg
`  ( CC  X.  { A } ) )  <_  0  <->  (deg `  ( CC  X.  { A }
) )  =  0 ) )
253, 23, 243syl 20 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
(deg `  ( CC  X.  { A } ) )  <_  0  <->  (deg `  ( CC  X.  { A }
) )  =  0 ) )
2622, 25mpbid 210 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (deg `  ( CC  X.  { A } ) )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    C_ wss 3461   {csn 4016   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497    X. cxp 4986   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   0cc0 9481   1c1 9482    x. cmul 9486    <_ cle 9618   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ...cfz 11675   ^cexp 12148   sum_csu 13590  Polycply 22747  degcdgr 22750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-0p 22243  df-ply 22751  df-coe 22753  df-dgr 22754
This theorem is referenced by:  0dgrb  22809  coemulc  22818  dgr0  22825  dgrmulc  22834  dgrcolem2  22837  plyremlem  22866  vieta1lem2  22873
  Copyright terms: Public domain W3C validator