MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0dgr Structured version   Unicode version

Theorem 0dgr 21849
Description: A constant function has degree 0. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
0dgr  |-  ( A  e.  CC  ->  (deg `  ( CC  X.  { A } ) )  =  0 )

Proof of Theorem 0dgr
Dummy variables  z 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3486 . . . 4  |-  CC  C_  CC
2 plyconst 21810 . . . 4  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( CC  X.  { A }
)  e.  (Poly `  CC ) )
31, 2mpan 670 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  X.  { A }
)  e.  (Poly `  CC ) )
4 0nn0 10708 . . . 4  |-  0  e.  NN0
54a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  0  e.  NN0 )
6 simpl 457 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( 0 ... 0 ) )  ->  A  e.  CC )
7 0z 10771 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
8 exp0 11989 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  CC  ->  (
z ^ 0 )  =  1 )
98oveq2d 6219 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  CC  ->  ( A  x.  ( z ^ 0 ) )  =  ( A  x.  1 ) )
10 mulid1 9497 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
119, 10sylan9eqr 2517 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
z ^ 0 ) )  =  A )
12 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
1311, 12eqeltrd 2542 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
z ^ 0 ) )  e.  CC )
14 oveq2 6211 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
z ^ k )  =  ( z ^
0 ) )
1514oveq2d 6219 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  ( A  x.  ( z ^ k ) )  =  ( A  x.  ( z ^ 0 ) ) )
1615fsum1 13339 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( A  x.  (
z ^ 0 ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( A  x.  (
z ^ k ) )  =  ( A  x.  ( z ^
0 ) ) )
177, 13, 16sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( A  x.  (
z ^ k ) )  =  ( A  x.  ( z ^
0 ) ) )
1817, 11eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( A  x.  (
z ^ k ) )  =  A )
1918mpteq2dva 4489 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( A  x.  ( z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  A ) )
20 fconstmpt 4993 . . . 4  |-  ( CC 
X.  { A }
)  =  ( z  e.  CC  |->  A )
2119, 20syl6reqr 2514 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  X.  { A }
)  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... 0
) ( A  x.  ( z ^ k
) ) ) )
223, 5, 6, 21dgrle 21847 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (deg `  ( CC  X.  { A } ) )  <_ 
0 )
23 dgrcl 21837 . . 3  |-  ( ( CC  X.  { A } )  e.  (Poly `  CC )  ->  (deg `  ( CC  X.  { A } ) )  e. 
NN0 )
24 nn0le0eq0 10722 . . 3  |-  ( (deg
`  ( CC  X.  { A } ) )  e.  NN0  ->  ( (deg
`  ( CC  X.  { A } ) )  <_  0  <->  (deg `  ( CC  X.  { A }
) )  =  0 ) )
253, 23, 243syl 20 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
(deg `  ( CC  X.  { A } ) )  <_  0  <->  (deg `  ( CC  X.  { A }
) )  =  0 ) )
2622, 25mpbid 210 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (deg `  ( CC  X.  { A } ) )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3439   {csn 3988   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461    X. cxp 4949   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   CCcc 9394   0cc0 9396   1c1 9397    x. cmul 9401    <_ cle 9533   NN0cn0 10693   ZZcz 10760   ...cfz 11557   ^cexp 11985   sum_csu 13284  Polycply 21788  degcdgr 21791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474  ax-addf 9475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-rp 11106  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-fl 11762  df-seq 11927  df-exp 11986  df-hash 12224  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-clim 13087  df-rlim 13088  df-sum 13285  df-0p 21284  df-ply 21792  df-coe 21794  df-dgr 21795
This theorem is referenced by:  0dgrb  21850  coemulc  21858  dgr0  21865  dgrmulc  21874  dgrcolem2  21877  plyremlem  21906  vieta1lem2  21913
  Copyright terms: Public domain W3C validator