MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0cyg Structured version   Unicode version

Theorem 0cyg 16368
Description: The trivial group is cyclic. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
cygctb.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
0cyg  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  ~~  1o )  ->  G  e. CycGrp )

Proof of Theorem 0cyg
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygctb.1 . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2442 . 2  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
3 simpl 457 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  ~~  1o )  ->  G  e.  Grp )
4 eqid 2442 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
51, 4grpidcl 15565 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
65adantr 465 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  ~~  1o )  -> 
( 0g `  G
)  e.  B )
7 0z 10656 . . 3  |-  0  e.  ZZ
8 en1eqsn 7541 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  B  /\  B  ~~  1o )  ->  B  =  { ( 0g `  G ) } )
95, 8sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  ~~  1o )  ->  B  =  { ( 0g `  G ) } )
109eleq2d 2509 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  ~~  1o )  -> 
( x  e.  B  <->  x  e.  { ( 0g
`  G ) } ) )
1110biimpa 484 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  B  ~~  1o )  /\  x  e.  B
)  ->  x  e.  { ( 0g `  G
) } )
12 elsn 3890 . . . . 5  |-  ( x  e.  { ( 0g
`  G ) }  <-> 
x  =  ( 0g
`  G ) )
1311, 12sylib 196 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  B  ~~  1o )  /\  x  e.  B
)  ->  x  =  ( 0g `  G ) )
141, 4, 2mulg0 15631 . . . . . 6  |-  ( ( 0g `  G )  e.  B  ->  (
0 (.g `  G ) ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) )
156, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  ~~  1o )  -> 
( 0 (.g `  G
) ( 0g `  G ) )  =  ( 0g `  G
) )
1615adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  B  ~~  1o )  /\  x  e.  B
)  ->  ( 0 (.g `  G ) ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) )
1713, 16eqtr4d 2477 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  B  ~~  1o )  /\  x  e.  B
)  ->  x  =  ( 0 (.g `  G
) ( 0g `  G ) ) )
18 oveq1 6097 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  (
n (.g `  G ) ( 0g `  G ) )  =  ( 0 (.g `  G ) ( 0g `  G ) ) )
1918eqeq2d 2453 . . . 4  |-  ( n  =  0  ->  (
x  =  ( n (.g `  G ) ( 0g `  G ) )  <->  x  =  (
0 (.g `  G ) ( 0g `  G ) ) ) )
2019rspcev 3072 . . 3  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  x  =  ( 0 (.g `  G ) ( 0g `  G ) ) )  ->  E. n  e.  ZZ  x  =  ( n (.g `  G ) ( 0g `  G ) ) )
217, 17, 20sylancr 663 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  B  ~~  1o )  /\  x  e.  B
)  ->  E. n  e.  ZZ  x  =  ( n (.g `  G ) ( 0g `  G ) ) )
221, 2, 3, 6, 21iscygd 16363 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  ~~  1o )  ->  G  e. CycGrp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2715   {csn 3876   class class class wbr 4291   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   1oc1o 6912    ~~ cen 7306   0cc0 9281   ZZcz 10645   Basecbs 14173   0gc0g 14377   Grpcgrp 15409  .gcmg 15413  CycGrpccyg 16353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-fz 11437  df-seq 11806  df-0g 14379  df-mnd 15414  df-grp 15544  df-minusg 15545  df-mulg 15547  df-cyg 16354
This theorem is referenced by:  lt6abl  16370  frgpcyg  18005
  Copyright terms: Public domain W3C validator