MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0cycl Structured version   Unicode version

Theorem 0cycl 25056
Description: A pair of an empty set (of edges) and a second set (of vertices) is a cycle if and only if the second set contains exactly one vertex (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
0cycl  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  P  e.  Z )  ->  ( (/) ( V Cycles  E ) P  <->  P : ( 0 ... 0 ) --> V ) )

Proof of Theorem 0cycl
StepHypRef Expression
1 0ex 4528 . . 3  |-  (/)  e.  _V
2 iscycl 25054 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( (/)  e.  _V  /\  P  e.  Z ) )  ->  ( (/) ( V Cycles  E ) P  <->  ( (/) ( V Paths 
E ) P  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  (/) ) ) ) ) )
31, 2mpanr1 683 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  P  e.  Z )  ->  ( (/) ( V Cycles  E ) P  <->  ( (/) ( V Paths 
E ) P  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  (/) ) ) ) ) )
4 0pth 25001 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  P  e.  Z )  ->  ( (/) ( V Paths  E ) P  <->  P : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
54anbi1d 705 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  P  e.  Z )  ->  (
( (/) ( V Paths  E
) P  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  (/) ) ) )  <->  ( P :
( 0 ... 0
) --> V  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  (/) ) ) ) ) )
6 hash0 12487 . . . . . . 7  |-  ( # `  (/) )  =  0
76eqcomi 2417 . . . . . 6  |-  0  =  ( # `  (/) )
87a1i 11 . . . . 5  |-  ( P : ( 0 ... 0 ) --> V  -> 
0  =  ( # `  (/) ) )
98fveq2d 5855 . . . 4  |-  ( P : ( 0 ... 0 ) --> V  -> 
( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  (/) ) ) )
109pm4.71i 632 . . 3  |-  ( P : ( 0 ... 0 ) --> V  <->  ( P : ( 0 ... 0 ) --> V  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  (/) ) ) ) )
115, 10syl6bbr 265 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  P  e.  Z )  ->  (
( (/) ( V Paths  E
) P  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  (/) ) ) )  <->  P : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
123, 11bitrd 255 1  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  P  e.  Z )  ->  ( (/) ( V Cycles  E ) P  <->  P : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   _Vcvv 3061   (/)c0 3740   class class class wbr 4397   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   0cc0 9524   ...cfz 11728   #chash 12454   Paths cpath 24929   Cycles ccycl 24936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-card 8354  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-hash 12455  df-word 12593  df-wlk 24937  df-trail 24938  df-pth 24939  df-cycl 24942
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator