Theorem 0cxp 22911

Description: Value of the complex power function when the first argument is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0cxp	|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( 0 ^c A ) = 0 )

Proof of Theorem 0cxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 9600	. . . 4 |- 0 e. CC
2		cxpval 22909	. . . 4 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 0 ^c A ) = if ( 0 = 0 , if ( A = 0 , 1 , 0 ) , ( exp ` ( A x. ( log ` 0 ) ) ) ) )
3	1, 2	mpan 670	. . 3 |- ( A e. CC -> ( 0 ^c A ) = if ( 0 = 0 , if ( A = 0 , 1 , 0 ) , ( exp ` ( A x. ( log ` 0 ) ) ) ) )
4		eqid 2467	. . . 4 |- 0 = 0
5	4	iftruei 3952	. . 3 |- if ( 0 = 0 , if ( A = 0 , 1 , 0 ) , ( exp ` ( A x. ( log ` 0 ) ) ) ) = if ( A = 0 , 1 , 0 )
6	3, 5	syl6eq 2524	. 2 |- ( A e. CC -> ( 0 ^c A ) = if ( A = 0 , 1 , 0 ) )
7		ifnefalse 3957	. 2 |- ( A =/= 0 -> if ( A = 0 , 1 , 0 ) = 0 )
8	6, 7	sylan9eq 2528	1 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( 0 ^c A ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   ifcif 3945   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   0cc0 9504   1c1 9505   x. cmul 9509   expce 13675   logclog 22806   ^c ccxp 22807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-mulcl 9566  ax-i2m1 9572

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-cxp 22809

This theorem is referenced by:  cxpexp  22913  cxpeq0  22923  cxpge0  22928  mulcxplem  22929  cxpmul2  22934  cxple2  22942  cxpsqrt  22948  0cxpd  22955  abscxpbnd  22991