Theorem 0cxp 23667

Description: Value of the complex power function when the first argument is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0cxp	|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( 0 ^c A ) = 0 )

Proof of Theorem 0cxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 9666	. . . 4 |- 0 e. CC
2		cxpval 23665	. . . 4 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 0 ^c A ) = if ( 0 = 0 , if ( A = 0 , 1 , 0 ) , ( exp ` ( A x. ( log ` 0 ) ) ) ) )
3	1, 2	mpan 681	. . 3 |- ( A e. CC -> ( 0 ^c A ) = if ( 0 = 0 , if ( A = 0 , 1 , 0 ) , ( exp ` ( A x. ( log ` 0 ) ) ) ) )
4		eqid 2462	. . . 4 |- 0 = 0
5	4	iftruei 3900	. . 3 |- if ( 0 = 0 , if ( A = 0 , 1 , 0 ) , ( exp ` ( A x. ( log ` 0 ) ) ) ) = if ( A = 0 , 1 , 0 )
6	3, 5	syl6eq 2512	. 2 |- ( A e. CC -> ( 0 ^c A ) = if ( A = 0 , 1 , 0 ) )
7		ifnefalse 3905	. 2 |- ( A =/= 0 -> if ( A = 0 , 1 , 0 ) = 0 )
8	6, 7	sylan9eq 2516	1 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( 0 ^c A ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 375   = wceq 1455   e. wcel 1898   =/= wne 2633   ifcif 3893   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   CCcc 9568   0cc0 9570   1c1 9571   x. cmul 9575   expce 14169   logclog 23560   ^c ccxp 23561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pr 4656  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-mulcl 9632  ax-i2m1 9638

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4419  df-opab 4478  df-id 4771  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fv 5613  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-cxp 23563

This theorem is referenced by:  cxpexp  23669  cxpeq0  23679  cxpge0  23684  mulcxplem  23685  cxpmul2  23690  cxple2  23698  cxpsqrt  23704  0cxpd  23711  abscxpbnd  23749