Theorem 0cxp 23339

Description: Value of the complex power function when the first argument is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0cxp	|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( 0 ^c A ) = 0 )

Proof of Theorem 0cxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 9617	. . . 4 |- 0 e. CC
2		cxpval 23337	. . . 4 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 0 ^c A ) = if ( 0 = 0 , if ( A = 0 , 1 , 0 ) , ( exp ` ( A x. ( log ` 0 ) ) ) ) )
3	1, 2	mpan 668	. . 3 |- ( A e. CC -> ( 0 ^c A ) = if ( 0 = 0 , if ( A = 0 , 1 , 0 ) , ( exp ` ( A x. ( log ` 0 ) ) ) ) )
4		eqid 2402	. . . 4 |- 0 = 0
5	4	iftruei 3891	. . 3 |- if ( 0 = 0 , if ( A = 0 , 1 , 0 ) , ( exp ` ( A x. ( log ` 0 ) ) ) ) = if ( A = 0 , 1 , 0 )
6	3, 5	syl6eq 2459	. 2 |- ( A e. CC -> ( 0 ^c A ) = if ( A = 0 , 1 , 0 ) )
7		ifnefalse 3896	. 2 |- ( A =/= 0 -> if ( A = 0 , 1 , 0 ) = 0 )
8	6, 7	sylan9eq 2463	1 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( 0 ^c A ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   =/= wne 2598   ifcif 3884   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   CCcc 9519   0cc0 9521   1c1 9522   x. cmul 9526   expce 14004   logclog 23232   ^c ccxp 23233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4629  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-mulcl 9583  ax-i2m1 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-cxp 23235

This theorem is referenced by:  cxpexp  23341  cxpeq0  23351  cxpge0  23356  mulcxplem  23357  cxpmul2  23362  cxple2  23370  cxpsqrt  23376  0cxpd  23383  abscxpbnd  23421