Theorem 0cnop 11540

Description: The identically zero function is a continuous Hilbert space operator.

Assertion

Ref	Expression
0cnop	|- 0hop e. ConOp

Proof of Theorem 0cnop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elcnop 11420	. 2 |- (0hop e. ConOp <-> (0hop:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. ~H ((normh` (w -h x)) < z -> (normh` ((0hop` w) -h (0hop` x))) < y)))))
2		ho0f 11314	. 2 |- 0hop:~H-->~H
3		1re 6598	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
4	3	a1i 8	. . . . . 6 |- (0 < y -> 1 e. RR)
5	4	a1i 8	. . . . 5 |- ((x e. ~H /\ y e. RR) -> (0 < y -> 1 e. RR))
6		lt01 6871	. . . . . . . . 9 |- 0 < 1
7	6	a1i 8	. . . . . . . 8 |- (0 < y -> 0 < 1)
8	7	a1i 8	. . . . . . 7 |- (x e. ~H -> (0 < y -> 0 < 1))
9		ho0val 11313	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w e. ~H -> (0hop` w) = 0h)
10		ho0val 11313	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. ~H -> (0hop` x) = 0h)
11	9, 10	opreqan12rd 4903	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. ~H /\ w e. ~H) -> ((0hop` w) -h (0hop` x)) = (0h -h 0h))
12		ax-hv0cl 10505	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0h e. ~H
13		hvsubid 10527	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (0h e. ~H -> (0h -h 0h) = 0h)
14	12, 13	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (0h -h 0h) = 0h
15	11, 14	syl6eq 1944	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. ~H /\ w e. ~H) -> ((0hop` w) -h (0hop` x)) = 0h)
16	15	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. ~H /\ w e. ~H) -> (normh` ((0hop` w) -h (0hop` x))) = (normh` 0h))
17		norm0 10628	. . . . . . . . . . . 12 |- (normh` 0h) = 0
18	16, 17	syl6eq 1944	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ~H /\ w e. ~H) -> (normh` ((0hop` w) -h (0hop` x))) = 0)
19	18	breq1d 3348	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. ~H /\ w e. ~H) -> ((normh` ((0hop` w) -h (0hop` x))) < y <-> 0 < y))
20	19	biimprd 171	. . . . . . . . 9 |- ((x e. ~H /\ w e. ~H) -> (0 < y -> (normh` ((0hop` w) -h (0hop` x))) < y))
21	20	a1dd 53	. . . . . . . 8 |- ((x e. ~H /\ w e. ~H) -> (0 < y -> ((normh` (w -h x)) < 1 -> (normh` ((0hop` w) -h (0hop` x))) < y)))
22	21	r19.21adva 2182	. . . . . . 7 |- (x e. ~H -> (0 < y -> A.w e. ~H ((normh` (w -h x)) < 1 -> (normh` ((0hop` w) -h (0hop` x))) < y)))
23	8, 22	jcad 661	. . . . . 6 |- (x e. ~H -> (0 < y -> (0 < 1 /\ A.w e. ~H ((normh` (w -h x)) < 1 -> (normh` ((0hop` w) -h (0hop` x))) < y))))
24	23	adantr 425	. . . . 5 |- ((x e. ~H /\ y e. RR) -> (0 < y -> (0 < 1 /\ A.w e. ~H ((normh` (w -h x)) < 1 -> (normh` ((0hop` w) -h (0hop` x))) < y))))
25	5, 24	jcad 661	. . . 4 |- ((x e. ~H /\ y e. RR) -> (0 < y -> (1 e. RR /\ (0 < 1 /\ A.w e. ~H ((normh` (w -h x)) < 1 -> (normh` ((0hop` w) -h (0hop` x))) < y)))))
26		breq2 3342	. . . . . 6 |- (z = 1 -> (0 < z <-> 0 < 1))
27		breq2 3342	. . . . . . . 8 |- (z = 1 -> ((normh` (w -h x)) < z <-> (normh` (w -h x)) < 1))
28	27	imbi1d 675	. . . . . . 7 |- (z = 1 -> (((normh` (w -h x)) < z -> (normh` ((0hop` w) -h (0hop` x))) < y) <-> ((normh` (w -h x)) < 1 -> (normh` ((0hop` w) -h (0hop` x))) < y)))
29	28	ralbidv 2123	. . . . . 6 |- (z = 1 -> (A.w e. ~H ((normh` (w -h x)) < z -> (normh` ((0hop` w) -h (0hop` x))) < y) <-> A.w e. ~H ((normh` (w -h x)) < 1 -> (normh` ((0hop` w) -h (0hop` x))) < y)))
30	26, 29	anbi12d 690	. . . . 5 |- (z = 1 -> ((0 < z /\ A.w e. ~H ((normh` (w -h x)) < z -> (normh` ((0hop` w) -h (0hop` x))) < y)) <-> (0 < 1 /\ A.w e. ~H ((normh` (w -h x)) < 1 -> (normh` ((0hop` w) -h (0hop` x))) < y))))
31	30	rcla4ev 2381	. . . 4 |- ((1 e. RR /\ (0 < 1 /\ A.w e. ~H ((normh` (w -h x)) < 1 -> (normh` ((0hop` w) -h (0hop` x))) < y))) -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. ~H ((normh` (w -h x)) < z -> (normh` ((0hop` w) -h (0hop` x))) < y)))
32	25, 31	syl6 25	. . 3 |- ((x e. ~H /\ y e. RR) -> (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. ~H ((normh` (w -h x)) < z -> (normh` ((0hop` w) -h (0hop` x))) < y))))
33	32	rgen2 2186	. 2 |- A.x e. ~H A.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. ~H ((normh` (w -h x)) < z -> (normh` ((0hop` w) -h (0hop` x))) < y)))
34	1, 2, 33	mpbir2an 800	1 |- 0hop e. ConOp

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   < clt 6653  ~Hchil 10420  0hc0v 10423   -h cmv 10424  normhcno 10426  0_hopch0o 10444  ConOpcco 10447

This theorem is referenced by:  lnopconi 11600  cnlnadjeu 11648

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-pj 10870  df-h0op 11311  df-cnop 11403

Copyright terms: Public domain