HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  0cnop Structured version   Unicode version

Theorem 0cnop 26560
Description: The identically zero function is a continuous Hilbert space operator. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
0cnop  |-  0hop  e.  ConOp

Proof of Theorem 0cnop
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ho0f 26332 . 2  |-  0hop : ~H --> ~H
2 1rp 11213 . . . 4  |-  1  e.  RR+
3 ho0val 26331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  ~H  ->  ( 0hop `  w )  =  0h )
4 ho0val 26331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( 0hop `  x )  =  0h )
53, 4oveqan12rd 6295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( 0hop `  w
)  -h  ( 0hop `  x ) )  =  ( 0h  -h  0h ) )
65adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  RR+ )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( 0hop `  w )  -h  ( 0hop `  x ) )  =  ( 0h  -h  0h ) )
7 ax-hv0cl 25582 . . . . . . . . . . 11  |-  0h  e.  ~H
8 hvsubid 25605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0h  e.  ~H  ->  ( 0h  -h  0h )  =  0h )
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0h 
-h  0h )  =  0h
106, 9syl6eq 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  RR+ )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( 0hop `  w )  -h  ( 0hop `  x ) )  =  0h )
1110fveq2d 5861 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  RR+ )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( normh `  (
( 0hop `  w )  -h  ( 0hop `  x
) ) )  =  ( normh `  0h )
)
12 norm0 25707 . . . . . . . 8  |-  ( normh `  0h )  =  0
1311, 12syl6eq 2517 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  RR+ )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( normh `  (
( 0hop `  w )  -h  ( 0hop `  x
) ) )  =  0 )
14 rpgt0 11220 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  < 
y )
1514ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  RR+ )  /\  w  e.  ~H )  ->  0  <  y
)
1613, 15eqbrtrd 4460 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  RR+ )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( normh `  (
( 0hop `  w )  -h  ( 0hop `  x
) ) )  < 
y )
1716a1d 25 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  RR+ )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  1  ->  ( normh `  ( ( 0hop `  w )  -h  ( 0hop `  x
) ) )  < 
y ) )
1817ralrimiva 2871 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  RR+ )  ->  A. w  e.  ~H  ( ( normh `  (
w  -h  x ) )  <  1  -> 
( normh `  ( ( 0hop `  w )  -h  ( 0hop `  x
) ) )  < 
y ) )
19 breq2 4444 . . . . . . 7  |-  ( z  =  1  ->  (
( normh `  ( w  -h  x ) )  < 
z  <->  ( normh `  (
w  -h  x ) )  <  1 ) )
2019imbi1d 317 . . . . . 6  |-  ( z  =  1  ->  (
( ( normh `  (
w  -h  x ) )  <  z  -> 
( normh `  ( ( 0hop `  w )  -h  ( 0hop `  x
) ) )  < 
y )  <->  ( ( normh `  ( w  -h  x ) )  <  1  ->  ( normh `  ( ( 0hop `  w
)  -h  ( 0hop `  x ) ) )  <  y ) ) )
2120ralbidv 2896 . . . . 5  |-  ( z  =  1  ->  ( A. w  e.  ~H  ( ( normh `  (
w  -h  x ) )  <  z  -> 
( normh `  ( ( 0hop `  w )  -h  ( 0hop `  x
) ) )  < 
y )  <->  A. w  e.  ~H  ( ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  1  ->  ( normh `  ( ( 0hop `  w )  -h  ( 0hop `  x
) ) )  < 
y ) ) )
2221rspcev 3207 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  A. w  e.  ~H  (
( normh `  ( w  -h  x ) )  <  1  ->  ( normh `  ( ( 0hop `  w
)  -h  ( 0hop `  x ) ) )  <  y ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  ~H  (
( normh `  ( w  -h  x ) )  < 
z  ->  ( normh `  ( ( 0hop `  w
)  -h  ( 0hop `  x ) ) )  <  y ) )
232, 18, 22sylancr 663 . . 3  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  ~H  ( ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  z  ->  ( normh `  ( ( 0hop `  w )  -h  ( 0hop `  x
) ) )  < 
y ) )
2423rgen2 2882 . 2  |-  A. x  e.  ~H  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  ~H  (
( normh `  ( w  -h  x ) )  < 
z  ->  ( normh `  ( ( 0hop `  w
)  -h  ( 0hop `  x ) ) )  <  y )
25 elcnop 26438 . 2  |-  ( 0hop 
e.  ConOp 
<->  ( 0hop : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  ~H  ( ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  z  ->  ( normh `  ( ( 0hop `  w )  -h  ( 0hop `  x
) ) )  < 
y ) ) )
261, 24, 25mpbir2an 913 1  |-  0hop  e.  ConOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808   class class class wbr 4440   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   0cc0 9481   1c1 9482    < clt 9617   RR+crp 11209   ~Hchil 25498   normhcno 25502   0hc0v 25503    -h cmv 25504   0hopch0o 25522   ConOpccop 25525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cc 8804  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561  ax-hilex 25578  ax-hfvadd 25579  ax-hvcom 25580  ax-hvass 25581  ax-hv0cl 25582  ax-hvaddid 25583  ax-hfvmul 25584  ax-hvmulid 25585  ax-hvmulass 25586  ax-hvdistr1 25587  ax-hvdistr2 25588  ax-hvmul0 25589  ax-hfi 25658  ax-his1 25661  ax-his2 25662  ax-his3 25663  ax-his4 25664  ax-hcompl 25781
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-omul 7125  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-acn 8312  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-mulg 15854  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-fbas 18180  df-fg 18181  df-cnfld 18185  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cld 19279  df-ntr 19280  df-cls 19281  df-nei 19358  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-lm 19489  df-haus 19575  df-tx 19791  df-hmeo 19984  df-fil 20075  df-fm 20167  df-flim 20168  df-flf 20169  df-xms 20551  df-ms 20552  df-tms 20553  df-cfil 21422  df-cau 21423  df-cmet 21424  df-grpo 24855  df-gid 24856  df-ginv 24857  df-gdiv 24858  df-ablo 24946  df-subgo 24966  df-vc 25101  df-nv 25147  df-va 25150  df-ba 25151  df-sm 25152  df-0v 25153  df-vs 25154  df-nmcv 25155  df-ims 25156  df-dip 25273  df-ssp 25297  df-ph 25390  df-cbn 25441  df-hnorm 25547  df-hba 25548  df-hvsub 25550  df-hlim 25551  df-hcau 25552  df-sh 25786  df-ch 25801  df-oc 25832  df-ch0 25833  df-shs 25888  df-pjh 25975  df-h0op 26329  df-cnop 26421
This theorem is referenced by:  cnlnadjeu  26659
  Copyright terms: Public domain W3C validator