MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0cld Structured version   Unicode version

Theorem 0cld 19302
Description: The empty set is closed. Part of Theorem 6.1(1) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 4-Oct-2006.)
Assertion
Ref Expression
0cld  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  (
Clsd `  J )
)

Proof of Theorem 0cld
StepHypRef Expression
1 dif0 3897 . . 3  |-  ( U. J  \  (/) )  =  U. J
21topopn 19179 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( U. J  \  (/) )  e.  J )
3 0ss 3814 . . 3  |-  (/)  C_  U. J
4 eqid 2467 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
54iscld2 19292 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (/)  C_  U. J )  -> 
( (/)  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  (/) )  e.  J
) )
63, 5mpan2 671 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( (/) 
e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( U. J  \  (/) )  e.  J
) )
72, 6mpbird 232 1  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  (
Clsd `  J )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1767    \ cdif 3473    C_ wss 3476   (/)c0 3785   U.cuni 4245   ` cfv 5586   Topctop 19158   Clsdccld 19280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fv 5594  df-top 19163  df-cld 19283
This theorem is referenced by:  cls0  19344  indiscld  19355  iscldtop  19359  iccordt  19478  iscon2  19678  tgptsmscld  20385  mblfinlem2  29627  mblfinlem3  29628  ismblfin  29630
  Copyright terms: Public domain W3C validator