MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0cld Structured version   Unicode version

Theorem 0cld 18777
Description: The empty set is closed. Part of Theorem 6.1(1) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 4-Oct-2006.)
Assertion
Ref Expression
0cld  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  (
Clsd `  J )
)

Proof of Theorem 0cld
StepHypRef Expression
1 dif0 3860 . . 3  |-  ( U. J  \  (/) )  =  U. J
21topopn 18654 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( U. J  \  (/) )  e.  J )
3 0ss 3777 . . 3  |-  (/)  C_  U. J
4 eqid 2454 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
54iscld2 18767 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (/)  C_  U. J )  -> 
( (/)  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  (/) )  e.  J
) )
63, 5mpan2 671 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( (/) 
e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( U. J  \  (/) )  e.  J
) )
72, 6mpbird 232 1  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  (
Clsd `  J )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1758    \ cdif 3436    C_ wss 3439   (/)c0 3748   U.cuni 4202   ` cfv 5529   Topctop 18633   Clsdccld 18755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fv 5537  df-top 18638  df-cld 18758
This theorem is referenced by:  cls0  18819  indiscld  18830  iscldtop  18834  iccordt  18953  iscon2  19153  tgptsmscld  19860  mblfinlem2  28597  mblfinlem3  28598  ismblfin  28600
  Copyright terms: Public domain W3C validator