MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0cld Structured version   Unicode version

Theorem 0cld 19984
Description: The empty set is closed. Part of Theorem 6.1(1) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 4-Oct-2006.)
Assertion
Ref Expression
0cld  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  (
Clsd `  J )
)

Proof of Theorem 0cld
StepHypRef Expression
1 dif0 3871 . . 3  |-  ( U. J  \  (/) )  =  U. J
21topopn 19867 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( U. J  \  (/) )  e.  J )
3 0ss 3797 . . 3  |-  (/)  C_  U. J
4 eqid 2429 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
54iscld2 19974 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (/)  C_  U. J )  -> 
( (/)  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  (/) )  e.  J
) )
63, 5mpan2 675 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( (/) 
e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( U. J  \  (/) )  e.  J
) )
72, 6mpbird 235 1  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  (
Clsd `  J )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    e. wcel 1870    \ cdif 3439    C_ wss 3442   (/)c0 3767   U.cuni 4222   ` cfv 5601   Topctop 19848   Clsdccld 19962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fv 5609  df-top 19852  df-cld 19965
This theorem is referenced by:  cls0  20027  indiscld  20038  iscldtop  20042  iccordt  20161  iscon2  20360  tgptsmscld  21096  mblfinlem2  31681  mblfinlem3  31682  ismblfin  31684
  Copyright terms: Public domain W3C validator