Theorem 0alg 15103

Description: Lemma for 0ded 15104.

Assertion

Ref	Expression
0alg	|- <.<.(/), (/)>., <.(/), (/)>.>. e. Alg

Proof of Theorem 0alg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 3446	. . . 4 |- (/) e. _V
2	1, 1, 1	3pm3.2i 1048	. . 3 |- ((/) e. _V /\ (/) e. _V /\ (/) e. _V)
3		dm0 4170	. . . . 5 |- dom (/) = (/)
4	3	eqcomi 1888	. . . 4 |- (/) = dom (/)
5	4, 4	isalg 15068	. . 3 |- ((((/) e. _V /\ (/) e. _V /\ (/) e. _V) /\ (/) e. _V) -> (<.<.(/), (/)>., <.(/), (/)>.>. e. Alg <-> (((/):(/)-->(/) /\ (/):(/)-->(/) /\ (/):(/)-->(/)) /\ (Fun (/) /\ dom (/) C_ ((/) X. (/)) /\ ran (/) C_ (/)))))
6	2, 1, 5	mp2an 761	. 2 |- (<.<.(/), (/)>., <.(/), (/)>.>. e. Alg <-> (((/):(/)-->(/) /\ (/):(/)-->(/) /\ (/):(/)-->(/)) /\ (Fun (/) /\ dom (/) C_ ((/) X. (/)) /\ ran (/) C_ (/))))
7		f0 4600	. . 3 |- (/):(/)-->(/)
8	7, 7, 7	3pm3.2i 1048	. 2 |- ((/):(/)-->(/) /\ (/):(/)-->(/) /\ (/):(/)-->(/))
9		fun0 4472	. . 3 |- Fun (/)
10		ssid 2634	. . . 4 |- (/) C_ (/)
11		xp0r 4065	. . . 4 |- ((/) X. (/)) = (/)
12	10, 3, 11	3sstr4i 2656	. . 3 |- dom (/) C_ ((/) X. (/))
13		rn0 4203	. . . 4 |- ran (/) = (/)
14	13	eqimssi 2668	. . 3 |- ran (/) C_ (/)
15	9, 12, 14	3pm3.2i 1048	. 2 |- (Fun (/) /\ dom (/) C_ ((/) X. (/)) /\ ran (/) C_ (/))
16	6, 8, 15	mpbir2an 800	1 |- <.<.(/), (/)>., <.(/), (/)>.>. e. Alg

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  (/)c0 2875  <.cop 3046   X. cxp 3984  dom cdm 3986  ran crn 3987  Fun wfun 3992  -->wf 3994   Alg calg 15058

This theorem is referenced by:  0ded 15104

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-alg 15063

Copyright terms: Public domain