MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  01sqrex Structured version   Unicode version

Theorem 01sqrex 13035
Description: Existence of a square root for reals in the interval  ( 0 ,  1 ]. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
01sqrex  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  E. x  e.  RR+  ( x  <_ 
1  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem 01sqrex
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2462 . . 3  |-  { y  e.  RR+  |  (
y ^ 2 )  <_  A }  =  { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A }
2 eqid 2462 . . 3  |-  sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  =  sup ( { y  e.  RR+  |  (
y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )
31, 2sqrlem4 13031 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^
2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  e.  RR+  /\  sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  <_  1 ) )
4 eqid 2462 . . 3  |-  { z  |  E. w  e. 
{ y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } E. x  e.  { y  e.  RR+  |  (
y ^ 2 )  <_  A } z  =  ( w  x.  x ) }  =  { z  |  E. w  e.  { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } E. x  e. 
{ y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A }
z  =  ( w  x.  x ) }
51, 2, 4sqrlem7 13034 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^
2 )  <_  A } ,  RR ,  <  ) ^ 2 )  =  A )
6 breq1 4445 . . . . 5  |-  ( x  =  sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  -> 
( x  <_  1  <->  sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^
2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  <_  1 ) )
7 oveq1 6284 . . . . . 6  |-  ( x  =  sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  -> 
( x ^ 2 )  =  ( sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^
2 )  <_  A } ,  RR ,  <  ) ^ 2 ) )
87eqeq1d 2464 . . . . 5  |-  ( x  =  sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  -> 
( ( x ^
2 )  =  A  <-> 
( sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  ) ^
2 )  =  A ) )
96, 8anbi12d 710 . . . 4  |-  ( x  =  sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  -> 
( ( x  <_ 
1  /\  ( x ^ 2 )  =  A )  <->  ( sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  <_  1  /\  ( sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^
2 )  <_  A } ,  RR ,  <  ) ^ 2 )  =  A ) ) )
109rspcev 3209 . . 3  |-  ( ( sup ( { y  e.  RR+  |  (
y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  e.  RR+  /\  ( sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  <_  1  /\  ( sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^
2 )  <_  A } ,  RR ,  <  ) ^ 2 )  =  A ) )  ->  E. x  e.  RR+  ( x  <_  1  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
1110anassrs 648 . 2  |-  ( ( ( sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  e.  RR+  /\  sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  <_ 
1 )  /\  ( sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^
2 )  <_  A } ,  RR ,  <  ) ^ 2 )  =  A )  ->  E. x  e.  RR+  (
x  <_  1  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
123, 5, 11syl2anc 661 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  E. x  e.  RR+  ( x  <_ 
1  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   {cab 2447   E.wrex 2810   {crab 2813   class class class wbr 4442  (class class class)co 6277   supcsup 7891   RRcr 9482   1c1 9484    x. cmul 9488    < clt 9619    <_ cle 9620   2c2 10576   RR+crp 11211   ^cexp 12124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-sup 7892  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-rp 11212  df-seq 12066  df-exp 12125
This theorem is referenced by:  resqrex  13036
  Copyright terms: Public domain W3C validator