MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  01sqrex Structured version   Unicode version

Theorem 01sqrex 13137
Description: Existence of a square root for reals in the interval  ( 0 ,  1 ]. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
01sqrex  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  E. x  e.  RR+  ( x  <_ 
1  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem 01sqrex
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2400 . . 3  |-  { y  e.  RR+  |  (
y ^ 2 )  <_  A }  =  { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A }
2 eqid 2400 . . 3  |-  sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  =  sup ( { y  e.  RR+  |  (
y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )
31, 2sqrlem4 13133 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^
2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  e.  RR+  /\  sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  <_  1 ) )
4 eqid 2400 . . 3  |-  { z  |  E. w  e. 
{ y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } E. x  e.  { y  e.  RR+  |  (
y ^ 2 )  <_  A } z  =  ( w  x.  x ) }  =  { z  |  E. w  e.  { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } E. x  e. 
{ y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A }
z  =  ( w  x.  x ) }
51, 2, 4sqrlem7 13136 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^
2 )  <_  A } ,  RR ,  <  ) ^ 2 )  =  A )
6 breq1 4395 . . . . 5  |-  ( x  =  sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  -> 
( x  <_  1  <->  sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^
2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  <_  1 ) )
7 oveq1 6239 . . . . . 6  |-  ( x  =  sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  -> 
( x ^ 2 )  =  ( sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^
2 )  <_  A } ,  RR ,  <  ) ^ 2 ) )
87eqeq1d 2402 . . . . 5  |-  ( x  =  sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  -> 
( ( x ^
2 )  =  A  <-> 
( sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  ) ^
2 )  =  A ) )
96, 8anbi12d 709 . . . 4  |-  ( x  =  sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  -> 
( ( x  <_ 
1  /\  ( x ^ 2 )  =  A )  <->  ( sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  <_  1  /\  ( sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^
2 )  <_  A } ,  RR ,  <  ) ^ 2 )  =  A ) ) )
109rspcev 3157 . . 3  |-  ( ( sup ( { y  e.  RR+  |  (
y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  e.  RR+  /\  ( sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  <_  1  /\  ( sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^
2 )  <_  A } ,  RR ,  <  ) ^ 2 )  =  A ) )  ->  E. x  e.  RR+  ( x  <_  1  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
1110anassrs 646 . 2  |-  ( ( ( sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  e.  RR+  /\  sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  <_ 
1 )  /\  ( sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^
2 )  <_  A } ,  RR ,  <  ) ^ 2 )  =  A )  ->  E. x  e.  RR+  (
x  <_  1  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
123, 5, 11syl2anc 659 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  E. x  e.  RR+  ( x  <_ 
1  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1403    e. wcel 1840   {cab 2385   E.wrex 2752   {crab 2755   class class class wbr 4392  (class class class)co 6232   supcsup 7852   RRcr 9439   1c1 9441    x. cmul 9445    < clt 9576    <_ cle 9577   2c2 10544   RR+crp 11181   ^cexp 12118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-sup 7853  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-rp 11182  df-seq 12060  df-exp 12119
This theorem is referenced by:  resqrex  13138
  Copyright terms: Public domain W3C validator