MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  00ply1bas Structured version   Unicode version

Theorem 00ply1bas 17666
Description: Lemma for ply1basfvi 17667 and deg1fvi 21525. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
00ply1bas  |-  (/)  =  (
Base `  (Poly1 `  (/) ) )

Proof of Theorem 00ply1bas
StepHypRef Expression
1 noel 3634 . . 3  |-  -.  a  e.  (/)
2 noel 3634 . . . 4  |-  -.  (
a `  ( 1o  X.  { 0 } ) )  e.  (/)
3 eqid 2437 . . . . . 6  |-  (Poly1 `  (/) )  =  (Poly1 `  (/) )
4 eqid 2437 . . . . . 6  |-  ( Base `  (Poly1 `  (/) ) )  =  ( Base `  (Poly1 `  (/) ) )
5 base0 14205 . . . . . 6  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
63, 4, 5ply1basf 17630 . . . . 5  |-  ( a  e.  ( Base `  (Poly1 `  (/) ) )  ->  a : ( NN0  ^m  1o ) --> (/) )
7 0nn0 10586 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
87fconst6 5593 . . . . . 6  |-  ( 1o 
X.  { 0 } ) : 1o --> NN0
9 nn0ex 10577 . . . . . . 7  |-  NN0  e.  _V
10 1on 6919 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  On
1110elexi 2976 . . . . . . 7  |-  1o  e.  _V
129, 11elmap 7233 . . . . . 6  |-  ( ( 1o  X.  { 0 } )  e.  ( NN0  ^m  1o )  <-> 
( 1o  X.  {
0 } ) : 1o --> NN0 )
138, 12mpbir 209 . . . . 5  |-  ( 1o 
X.  { 0 } )  e.  ( NN0 
^m  1o )
14 ffvelrn 5834 . . . . 5  |-  ( ( a : ( NN0 
^m  1o ) --> (/)  /\  ( 1o  X.  {
0 } )  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  (
a `  ( 1o  X.  { 0 } ) )  e.  (/) )
156, 13, 14sylancl 662 . . . 4  |-  ( a  e.  ( Base `  (Poly1 `  (/) ) )  ->  (
a `  ( 1o  X.  { 0 } ) )  e.  (/) )
162, 15mto 176 . . 3  |-  -.  a  e.  ( Base `  (Poly1 `  (/) ) )
171, 162false 350 . 2  |-  ( a  e.  (/)  <->  a  e.  (
Base `  (Poly1 `  (/) ) ) )
1817eqriv 2434 1  |-  (/)  =  (
Base `  (Poly1 `  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1369    e. wcel 1756   (/)c0 3630   {csn 3870   Oncon0 4711    X. cxp 4830   -->wf 5407   ` cfv 5411  (class class class)co 6086   1oc1o 6905    ^m cmap 7206   0cc0 9274   NN0cn0 10571   Basecbs 14166  Poly1cpl1 17605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-rep 4396  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-tp 3875  df-op 3877  df-uni 4085  df-int 4122  df-iun 4166  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-tr 4379  df-eprel 4624  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-fr 4671  df-we 4673  df-ord 4714  df-on 4715  df-lim 4716  df-suc 4717  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-riota 6045  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-tset 14249  df-ple 14250  df-psr 17397  df-mpl 17399  df-opsr 17401  df-psr1 17608  df-ply1 17610
This theorem is referenced by:  ply1basfvi  17667  deg1fvi  21525
  Copyright terms: Public domain W3C validator