MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  00ply1bas Structured version   Unicode version

Theorem 00ply1bas 17717
Description: Lemma for ply1basfvi 17718 and deg1fvi 21578. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
00ply1bas  |-  (/)  =  (
Base `  (Poly1 `  (/) ) )

Proof of Theorem 00ply1bas
StepHypRef Expression
1 noel 3662 . . 3  |-  -.  a  e.  (/)
2 noel 3662 . . . 4  |-  -.  (
a `  ( 1o  X.  { 0 } ) )  e.  (/)
3 eqid 2443 . . . . . 6  |-  (Poly1 `  (/) )  =  (Poly1 `  (/) )
4 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  (Poly1 `  (/) ) )  =  ( Base `  (Poly1 `  (/) ) )
5 base0 14234 . . . . . 6  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
63, 4, 5ply1basf 17680 . . . . 5  |-  ( a  e.  ( Base `  (Poly1 `  (/) ) )  ->  a : ( NN0  ^m  1o ) --> (/) )
7 0nn0 10615 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
87fconst6 5621 . . . . . 6  |-  ( 1o 
X.  { 0 } ) : 1o --> NN0
9 nn0ex 10606 . . . . . . 7  |-  NN0  e.  _V
10 1on 6948 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  On
1110elexi 3003 . . . . . . 7  |-  1o  e.  _V
129, 11elmap 7262 . . . . . 6  |-  ( ( 1o  X.  { 0 } )  e.  ( NN0  ^m  1o )  <-> 
( 1o  X.  {
0 } ) : 1o --> NN0 )
138, 12mpbir 209 . . . . 5  |-  ( 1o 
X.  { 0 } )  e.  ( NN0 
^m  1o )
14 ffvelrn 5862 . . . . 5  |-  ( ( a : ( NN0 
^m  1o ) --> (/)  /\  ( 1o  X.  {
0 } )  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  (
a `  ( 1o  X.  { 0 } ) )  e.  (/) )
156, 13, 14sylancl 662 . . . 4  |-  ( a  e.  ( Base `  (Poly1 `  (/) ) )  ->  (
a `  ( 1o  X.  { 0 } ) )  e.  (/) )
162, 15mto 176 . . 3  |-  -.  a  e.  ( Base `  (Poly1 `  (/) ) )
171, 162false 350 . 2  |-  ( a  e.  (/)  <->  a  e.  (
Base `  (Poly1 `  (/) ) ) )
1817eqriv 2440 1  |-  (/)  =  (
Base `  (Poly1 `  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1369    e. wcel 1756   (/)c0 3658   {csn 3898   Oncon0 4740    X. cxp 4859   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   1oc1o 6934    ^m cmap 7235   0cc0 9303   NN0cn0 10600   Basecbs 14195  Poly1cpl1 17655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-tset 14278  df-ple 14279  df-psr 17445  df-mpl 17447  df-opsr 17449  df-psr1 17658  df-ply1 17660
This theorem is referenced by:  ply1basfvi  17718  deg1fvi  21578
  Copyright terms: Public domain W3C validator