MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  00lsp Structured version   Unicode version

Theorem 00lsp 17949
Description: fvco4i 5929 lemma for linear spans. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
00lsp  |-  (/)  =  (
LSpan `  (/) )

Proof of Theorem 00lsp
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4528 . . 3  |-  (/)  e.  _V
2 base0 14884 . . . 4  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
3 00lss 17910 . . . 4  |-  (/)  =  (
LSubSp `  (/) )
4 eqid 2404 . . . 4  |-  ( LSpan `  (/) )  =  ( LSpan `  (/) )
52, 3, 4lspfval 17941 . . 3  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( LSpan `  (/) )  =  (
a  e.  ~P (/)  |->  |^| { b  e.  (/)  |  a  C_  b } ) )
61, 5ax-mp 5 . 2  |-  ( LSpan `  (/) )  =  (
a  e.  ~P (/)  |->  |^| { b  e.  (/)  |  a  C_  b } )
7 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( a  e.  ~P (/)  |->  |^| { b  e.  (/)  |  a  C_  b } )  =  ( a  e.  ~P (/)  |->  |^| { b  e.  (/)  |  a  C_  b } )
87dmmpt 5320 . . . 4  |-  dom  (
a  e.  ~P (/)  |->  |^| { b  e.  (/)  |  a  C_  b } )  =  {
a  e.  ~P (/)  |  |^| { b  e.  (/)  |  a 
C_  b }  e.  _V }
9 vprc 4534 . . . . . . 7  |-  -.  _V  e.  _V
10 rab0 3762 . . . . . . . . . 10  |-  { b  e.  (/)  |  a  C_  b }  =  (/)
1110inteqi 4233 . . . . . . . . 9  |-  |^| { b  e.  (/)  |  a  C_  b }  =  |^| (/)
12 int0 4243 . . . . . . . . 9  |-  |^| (/)  =  _V
1311, 12eqtri 2433 . . . . . . . 8  |-  |^| { b  e.  (/)  |  a  C_  b }  =  _V
1413eleq1i 2481 . . . . . . 7  |-  ( |^| { b  e.  (/)  |  a 
C_  b }  e.  _V 
<->  _V  e.  _V )
159, 14mtbir 299 . . . . . 6  |-  -.  |^| { b  e.  (/)  |  a 
C_  b }  e.  _V
1615rgenw 2767 . . . . 5  |-  A. a  e.  ~P  (/)  -.  |^| { b  e.  (/)  |  a  C_  b }  e.  _V
17 rabeq0 3763 . . . . 5  |-  ( { a  e.  ~P (/)  |  |^| { b  e.  (/)  |  a 
C_  b }  e.  _V }  =  (/)  <->  A. a  e.  ~P  (/)  -.  |^| { b  e.  (/)  |  a  C_  b }  e.  _V )
1816, 17mpbir 211 . . . 4  |-  { a  e.  ~P (/)  |  |^| { b  e.  (/)  |  a 
C_  b }  e.  _V }  =  (/)
198, 18eqtri 2433 . . 3  |-  dom  (
a  e.  ~P (/)  |->  |^| { b  e.  (/)  |  a  C_  b } )  =  (/)
20 funmpt 5607 . . . . 5  |-  Fun  (
a  e.  ~P (/)  |->  |^| { b  e.  (/)  |  a  C_  b } )
21 funrel 5588 . . . . 5  |-  ( Fun  ( a  e.  ~P (/)  |-> 
|^| { b  e.  (/)  |  a  C_  b }
)  ->  Rel  ( a  e.  ~P (/)  |->  |^| { b  e.  (/)  |  a  C_  b } ) )
2220, 21ax-mp 5 . . . 4  |-  Rel  (
a  e.  ~P (/)  |->  |^| { b  e.  (/)  |  a  C_  b } )
23 reldm0 5043 . . . 4  |-  ( Rel  ( a  e.  ~P (/)  |-> 
|^| { b  e.  (/)  |  a  C_  b }
)  ->  ( (
a  e.  ~P (/)  |->  |^| { b  e.  (/)  |  a  C_  b } )  =  (/)  <->  dom  ( a  e.  ~P (/)  |-> 
|^| { b  e.  (/)  |  a  C_  b }
)  =  (/) ) )
2422, 23ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( a  e.  ~P (/)  |->  |^| { b  e.  (/)  |  a  C_  b } )  =  (/)  <->  dom  ( a  e.  ~P (/)  |-> 
|^| { b  e.  (/)  |  a  C_  b }
)  =  (/) )
2519, 24mpbir 211 . 2  |-  ( a  e.  ~P (/)  |->  |^| { b  e.  (/)  |  a  C_  b } )  =  (/)
266, 25eqtr2i 2434 1  |-  (/)  =  (
LSpan `  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 186    = wceq 1407    e. wcel 1844   A.wral 2756   {crab 2760   _Vcvv 3061    C_ wss 3416   (/)c0 3740   ~Pcpw 3957   |^|cint 4229    |-> cmpt 4455   dom cdm 4825   Rel wrel 4830   Fun wfun 5565   ` cfv 5571   LSpanclspn 17939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-slot 14847  df-base 14848  df-lss 17901  df-lsp 17940
This theorem is referenced by:  rspval  18161
  Copyright terms: Public domain W3C validator