Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0.999... Structured version   Unicode version

Theorem 0.999... 13701
 Description: The recurring decimal 0.999..., which is defined as the infinite sum 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... i.e. , is exactly equal to 1, according to ZF set theory. Interestingly, about 40% of the people responding to a poll at http://forum.physorg.com/index.php?showtopic=13177 disagree. (Contributed by NM, 2-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
0.999...

Proof of Theorem 0.999...
StepHypRef Expression
1 10re 10645 . . . . . . 7
21recni 9625 . . . . . 6
3 nnnn0 10823 . . . . . 6
4 expcl 12186 . . . . . 6
52, 3, 4sylancr 663 . . . . 5
62a1i 11 . . . . . 6
7 10pos 10659 . . . . . . . 8
81, 7gt0ne0ii 10110 . . . . . . 7
98a1i 11 . . . . . 6
10 nnz 10907 . . . . . 6
116, 9, 10expne0d 12318 . . . . 5
12 9cn 10644 . . . . . 6
13 divrec 10244 . . . . . 6
1412, 13mp3an1 1311 . . . . 5
155, 11, 14syl2anc 661 . . . 4
166, 9, 10exprecd 12320 . . . . 5
1716oveq2d 6312 . . . 4
1815, 17eqtr4d 2501 . . 3
1918sumeq2i 13532 . 2
201, 8rereccli 10330 . . . . 5
2120recni 9625 . . . 4
22 0re 9613 . . . . . . 7
231, 7recgt0ii 10471 . . . . . . 7
2422, 20, 23ltleii 9724 . . . . . 6
2520absidi 13221 . . . . . 6
2624, 25ax-mp 5 . . . . 5
27 1lt10 10767 . . . . . 6
28 recgt1 10461 . . . . . . 7
291, 7, 28mp2an 672 . . . . . 6
3027, 29mpbi 208 . . . . 5
3126, 30eqbrtri 4475 . . . 4
32 geoisum1c 13700 . . . 4
3312, 21, 31, 32mp3an 1324 . . 3
3412, 2, 8divreci 10310 . . . 4
3512, 2, 8divcan2i 10308 . . . . . 6
36 ax-1cn 9567 . . . . . . . 8
372, 36, 21subdii 10026 . . . . . . 7
382mulid1i 9615 . . . . . . . 8
392, 8recidi 10296 . . . . . . . 8
4038, 39oveq12i 6308 . . . . . . 7
4136, 12addcomi 9788 . . . . . . . . 9
42 df-10 10623 . . . . . . . . 9
4341, 42eqtr4i 2489 . . . . . . . 8
442, 36, 12, 43subaddrii 9928 . . . . . . 7
4537, 40, 443eqtrri 2491 . . . . . 6
4635, 45eqtri 2486 . . . . 5
47 9re 10643 . . . . . . . 8
4847, 1, 8redivcli 10332 . . . . . . 7
4948recni 9625 . . . . . 6
5036, 21subcli 9914 . . . . . 6
5149, 50, 2, 8mulcani 10209 . . . . 5
5246, 51mpbi 208 . . . 4
5334, 52oveq12i 6308 . . 3
54 9pos 10658 . . . . . 6
5547, 1, 54, 7divgt0ii 10483 . . . . 5
5648, 55gt0ne0ii 10110 . . . 4
5749, 56dividi 10298 . . 3
5833, 53, 573eqtr2i 2492 . 2
5919, 58eqtri 2486 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 184   wceq 1395   wcel 1819   wne 2652   class class class wbr 4456  cfv 5594  (class class class)co 6296  cc 9507  cr 9508  cc0 9509  c1 9510   caddc 9512   cmul 9514   clt 9645   cle 9646   cmin 9824   cdiv 10227  cn 10556  c9 10613  c10 10614  cn0 10816  cexp 12168  cabs 13078  csu 13519 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322  df-rlim 13323  df-sum 13520 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator