Theorem tfis3 4309

Description: Transfinite Induction Schema, using implicit substitution. (Contributed by NM, 4-Nov-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfis3.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
tfis3.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
tfis3.3	⊢ (𝑥 ∈ On → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
tfis3	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝜒)

Distinct variable groups:   𝜓,𝑥   𝜑,𝑦   𝜒,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem tfis3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfis3.2	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
2		tfis3.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3		tfis3.3	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑))
4	2, 3	tfis2 4308	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ On → 𝜑)
5	1, 4	vtoclga 2619	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝜒)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 98   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ∀wral 2306  Oncon0 4100

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-setind 4262

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-in 2924  df-ss 2931  df-uni 3581  df-tr 3855  df-iord 4103  df-on 4105

This theorem is referenced by:  tfisi  4310  tfrlemi1  5946  rdgon  5973