Theorem prcdnql 6582

Description: A lower cut is closed downwards under the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prcdnql	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐶 ∈ 𝐿))

Proof of Theorem prcdnql

Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 6463	. . . . . 6 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
2	1	brel 4392	. . . . 5 ⊢ (𝐶 <Q 𝐵 → (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
3	2	simpld 105	. . . 4 ⊢ (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐶 ∈ Q)
4	3	adantl 262	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐶 ∈ Q)
5		breq1 3767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 <Q 𝐵 ↔ 𝐶 <Q 𝐵))
6		eleq1 2100	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 ∈ 𝐿 ↔ 𝐶 ∈ 𝐿))
7	5, 6	imbi12d 223	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑐 <Q 𝐵 → 𝑐 ∈ 𝐿) ↔ (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐶 ∈ 𝐿)))
8	7	imbi2d 219	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → (𝑐 <Q 𝐵 → 𝑐 ∈ 𝐿)) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐶 ∈ 𝐿))))
9	1	brel 4392	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 <Q 𝐵 → (𝑐 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
10	9	ancomd 254	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 <Q 𝐵 → (𝐵 ∈ Q ∧ 𝑐 ∈ Q))
11		an42 521	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Q ∧ 𝑐 ∈ Q) ∧ (𝐵 ∈ 𝐿 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)) ↔ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑐 ∈ Q)))
12		breq2 3768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑐 <Q 𝑏 ↔ 𝑐 <Q 𝐵))
13		eleq1 2100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ∈ 𝐿 ↔ 𝐵 ∈ 𝐿))
14	12, 13	anbi12d 442	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐿) ↔ (𝑐 <Q 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐿)))
15	14	rspcev 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝑐 <Q 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐿)) → ∃𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐿))
16		elinp 6572	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑐 ∈ Q 𝑐 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ Q 𝑏 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑐 ∈ Q (𝑐 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑏 ∈ Q (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑐 ∈ Q ¬ (𝑐 ∈ 𝐿 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑐 ∈ Q ∀𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 → (𝑐 ∈ 𝐿 ∨ 𝑏 ∈ 𝑈)))))
17		simpr1l 961	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑐 ∈ Q 𝑐 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ Q 𝑏 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑐 ∈ Q (𝑐 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑏 ∈ Q (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑐 ∈ Q ¬ (𝑐 ∈ 𝐿 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑐 ∈ Q ∀𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 → (𝑐 ∈ 𝐿 ∨ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → ∀𝑐 ∈ Q (𝑐 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐿)))
18	16, 17	sylbi 114	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑐 ∈ Q (𝑐 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐿)))
19	18	r19.21bi 2407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑐 ∈ Q) → (𝑐 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐿)))
20	15, 19	syl5ibrcom 146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝑐 <Q 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐿)) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑐 ∈ Q) → 𝑐 ∈ 𝐿))
21	20	3impb 1100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝑐 <Q 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑐 ∈ Q) → 𝑐 ∈ 𝐿))
22	21	3com12 1108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 <Q 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑐 ∈ Q) → 𝑐 ∈ 𝐿))
23	22	3expib 1107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 <Q 𝐵 → ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑐 ∈ Q) → 𝑐 ∈ 𝐿)))
24	23	impd 242	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 <Q 𝐵 → (((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑐 ∈ Q)) → 𝑐 ∈ 𝐿))
25	11, 24	syl5bi 141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 <Q 𝐵 → (((𝐵 ∈ Q ∧ 𝑐 ∈ Q) ∧ (𝐵 ∈ 𝐿 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)) → 𝑐 ∈ 𝐿))
26	10, 25	mpand 405	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 <Q 𝐵 → ((𝐵 ∈ 𝐿 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P) → 𝑐 ∈ 𝐿))
27	26	com12 27	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐿 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P) → (𝑐 <Q 𝐵 → 𝑐 ∈ 𝐿))
28	27	ancoms 255	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → (𝑐 <Q 𝐵 → 𝑐 ∈ 𝐿))
29	8, 28	vtoclg 2613	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐶 ∈ 𝐿)))
30	29	impd 242	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Q → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐿))
31	4, 30	mpcom 32	. 2 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐿)
32	31	ex 108	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐶 ∈ 𝐿))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 629   ∧ w3a 885   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ∀wral 2306  ∃wrex 2307   ⊆ wss 2917  ⟨cop 3378   class class class wbr 3764  Qcnq 6378   <_Q cltq 6383  Pcnp 6389

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-qs 6112  df-ni 6402  df-nqqs 6446  df-ltnqqs 6451  df-inp 6564

This theorem is referenced by:  prubl  6584  addnqprllem  6625  nqprl  6649  mulnqprl  6666  distrlem4prl  6682  ltprordil  6687  1idprl  6688  ltpopr  6693  ltaddpr  6695  ltexprlemlol  6700  ltexprlemfl  6707  ltexprlemrl  6708  aptiprleml  6737  aptiprlemu  6738  archrecpr  6762  caucvgprprlemml  6792