Theorem nlt1pig 6439

Description: No positive integer is less than one. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nlt1pig	⊢ (𝐴 ∈ N → ¬ 𝐴 <N 1𝑜)

Proof of Theorem nlt1pig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elni 6406	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
2	1	simprbi 260	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ≠ ∅)
3		noel 3228	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
4		1pi 6413	. . . . . . . . 9 ⊢ 1𝑜 ∈ N
5		ltpiord 6417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) → (𝐴 <N 1𝑜 ↔ 𝐴 ∈ 1𝑜))
6	4, 5	mpan2 401	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 <N 1𝑜 ↔ 𝐴 ∈ 1𝑜))
7		df-1o 6001	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1𝑜 = suc ∅
8	7	eleq2i 2104	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 1𝑜 ↔ 𝐴 ∈ suc ∅)
9		elsucg 4141	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ∈ suc ∅ ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
10	8, 9	syl5bb 181	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ∈ 1𝑜 ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
11	6, 10	bitrd 177	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 <N 1𝑜 ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
12	11	biimpa 280	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 <N 1𝑜) → (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅))
13	12	ord 643	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 <N 1𝑜) → (¬ 𝐴 ∈ ∅ → 𝐴 = ∅))
14	3, 13	mpi 15	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 <N 1𝑜) → 𝐴 = ∅)
15	14	ex 108	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 <N 1𝑜 → 𝐴 = ∅))
16	15	necon3ad 2247	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ≠ ∅ → ¬ 𝐴 <N 1𝑜))
17	2, 16	mpd 13	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → ¬ 𝐴 <N 1𝑜)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 629   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   ≠ wne 2204  ∅c0 3224   class class class wbr 3764  suc csuc 4102  ωcom 4313  1_𝑜c1o 5994  Ncnpi 6370   <_N clti 6373

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-br 3765  df-opab 3819  df-eprel 4026  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-1o 6001  df-ni 6402  df-lti 6405

This theorem is referenced by:  caucvgsr  6886