Theorem ltbtwnnqq 6513

Description: There exists a number between any two positive fractions. Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltbtwnnqq	⊢ (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ltbtwnnqq

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 6463	. . . . 5 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
2	1	brel 4392	. . . 4 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
3	2	simpld 105	. . 3 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → 𝐴 ∈ Q)
4		ltexnqi 6507	. . 3 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → ∃𝑦 ∈ Q (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵)
5		nsmallnq 6511	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ Q → ∃𝑧 𝑧 <Q 𝑦)
6	1	brel 4392	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 <Q 𝑦 → (𝑧 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q))
7	6	simpld 105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ Q)
8		ltaddnq 6505	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
9	7, 8	sylan2 270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
10	9	ancoms 255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
11	10	adantr 261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
12		ltanqi 6500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦))
13	12	adantr 261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦))
14		breq2 3768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ((𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦) ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵))
15	14	adantl 262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ((𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦) ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵))
16	13, 15	mpbid 135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵)
17		addclnq 6473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝑧) ∈ Q)
18	7, 17	sylan2 270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → (𝐴 +Q 𝑧) ∈ Q)
19	18	ancoms 255	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝑧) ∈ Q)
20	19	adantr 261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 +Q 𝑧) ∈ Q)
21		breq2 3768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → (𝐴 <Q 𝑥 ↔ 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧)))
22		breq1 3767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → (𝑥 <Q 𝐵 ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵))
23	21, 22	anbi12d 442	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → ((𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ↔ (𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵)))
24	23	adantl 262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧)) → ((𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ↔ (𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵)))
25	20, 24	rspcedv 2660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ((𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
26	11, 16, 25	mp2and 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
27	26	3impa 1099	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
28	27	3coml 1111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
29	28	3expia 1106	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝑧 <Q 𝑦 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
30	29	exlimdv 1700	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (∃𝑧 𝑧 <Q 𝑦 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
31	5, 30	syl5 28	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝑦 ∈ Q → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
32	31	impancom 247	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
33	32	rexlimdva 2433	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (∃𝑦 ∈ Q (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
34	3, 4, 33	sylc 56	. 2 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
35		ltsonq 6496	. . . 4 ⊢ <Q Or Q
36	35, 1	sotri 4720	. . 3 ⊢ ((𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) → 𝐴 <Q 𝐵)
37	36	rexlimivw 2429	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) → 𝐴 <Q 𝐵)
38	34, 37	impbii 117	1 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))

Syntax hints:   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1243  ∃wex 1381   ∈ wcel 1393  ∃wrex 2307   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512  Qcnq 6378   +_Q cplq 6380   <_Q cltq 6383

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451

This theorem is referenced by:  ltbtwnnq  6514  nqprrnd  6641  appdivnq  6661  ltnqpr  6691  ltnqpri  6692  recexprlemopl  6723  recexprlemopu  6725  cauappcvgprlemopl  6744  cauappcvgprlemopu  6746  cauappcvgprlem2  6758  caucvgprlemopl  6767  caucvgprlemopu  6769  caucvgprlem2  6778