Theorem lenlt 7094

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lenlt	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 7071	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 7071	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrlenlt 7084	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 273	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∈ wcel 1393   class class class wbr 3764  ℝcr 6888  ℝ^*cxr 7059   < clt 7060   ≤ cle 7061

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-cnv 4353  df-xr 7064  df-le 7066

This theorem is referenced by:  letri3  7099  ltleletr  7100  letr  7101  leid  7102  ltle  7105  lelttr  7106  ltletr  7107  lenlti  7118  lenltd  7134  lemul1  7584  msqge0  7607  mulge0  7610  ltleap  7621  recgt0  7816  lediv1  7835  nnge1  7937  nnnlt1  7940  avgle1  8165  avgle2  8166  nn0nlt0  8208  zltnle  8291  zleloe  8292  zdcle  8317  recnz  8333  btwnnz  8334  prime  8337  fznlem  8905  fzonlt0  9023  qltnle  9101  resqrexlemgt0  9618  climge0  9845