Theorem iinerm 6178

Description: The intersection of a nonempty family of equivalence relations is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iinerm	⊢ ((∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑦,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem iinerm

Dummy variables 𝑢 𝑎 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2100	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑎 ∈ 𝐴))
2	1	cbvexv 1795	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑎 𝑎 ∈ 𝐴)
3		eleq1 2100	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝑎 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
4	3	cbvexv 1795	. . 3 ⊢ (∃𝑎 𝑎 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
5	2, 4	bitri 173	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
6		r19.2m 3309	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵)
7		errel 6115	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 Er 𝐵 → Rel 𝑅)
8		df-rel 4352	. . . . . . 7 ⊢ (Rel 𝑅 ↔ 𝑅 ⊆ (V × V))
9	7, 8	sylib 127	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 Er 𝐵 → 𝑅 ⊆ (V × V))
10	9	reximi 2416	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ⊆ (V × V))
11		iinss 3708	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ⊆ (V × V) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ⊆ (V × V))
12	6, 10, 11	3syl 17	. . . 4 ⊢ ((∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ⊆ (V × V))
13		df-rel 4352	. . . 4 ⊢ (Rel ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ↔ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ⊆ (V × V))
14	12, 13	sylibr 137	. . 3 ⊢ ((∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → Rel ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅)
15		id 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 Er 𝐵 → 𝑅 Er 𝐵)
16	15	ersymb 6120	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 Er 𝐵 → (𝑢𝑅𝑣 ↔ 𝑣𝑅𝑢))
17	16	biimpd 132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 Er 𝐵 → (𝑢𝑅𝑣 → 𝑣𝑅𝑢))
18		df-br 3765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢𝑅𝑣 ↔ ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅)
19		df-br 3765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣𝑅𝑢 ↔ ⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ 𝑅)
20	17, 18, 19	3imtr3g 193	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 Er 𝐵 → (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 → ⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
21	20	ral2imi 2385	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
22	21	adantl 262	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
23		df-br 3765	. . . . . 6 ⊢ (𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑣 ↔ ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅)
24		vex 2560	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑢 ∈ V
25		vex 2560	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑣 ∈ V
26	24, 25	opex 3966	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ V
27		eliin 3662	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ V → (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅))
28	26, 27	ax-mp 7	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅)
29	23, 28	bitri 173	. . . . 5 ⊢ (𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑣 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅)
30		df-br 3765	. . . . . 6 ⊢ (𝑣∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑢 ↔ ⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅)
31	25, 24	opex 3966	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ V
32		eliin 3662	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ V → (⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
33	31, 32	ax-mp 7	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ 𝑅)
34	30, 33	bitri 173	. . . . 5 ⊢ (𝑣∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑢 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ 𝑅)
35	22, 29, 34	3imtr4g 194	. . . 4 ⊢ ((∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → (𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑣 → 𝑣∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑢))
36	35	imp 115	. . 3 ⊢ (((∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) ∧ 𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑣) → 𝑣∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑢)
37		r19.26 2441	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 ∧ ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅))
38	15	ertr 6121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 Er 𝐵 → ((𝑢𝑅𝑣 ∧ 𝑣𝑅𝑤) → 𝑢𝑅𝑤))
39		df-br 3765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣𝑅𝑤 ↔ ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅)
40	18, 39	anbi12i 433	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢𝑅𝑣 ∧ 𝑣𝑅𝑤) ↔ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 ∧ ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅))
41		df-br 3765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢𝑅𝑤 ↔ ⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ 𝑅)
42	38, 40, 41	3imtr3g 193	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 Er 𝐵 → ((⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 ∧ ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅) → ⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ 𝑅))
43	42	ral2imi 2385	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 ∧ ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ 𝑅))
44	43	adantl 262	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 ∧ ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ 𝑅))
45	37, 44	syl5bir 142	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ 𝑅))
46		df-br 3765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑤 ↔ ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅)
47		vex 2560	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑤 ∈ V
48	25, 47	opex 3966	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ V
49		eliin 3662	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ V → (⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅))
50	48, 49	ax-mp 7	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅)
51	46, 50	bitri 173	. . . . . 6 ⊢ (𝑣∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅)
52	29, 51	anbi12i 433	. . . . 5 ⊢ ((𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑣 ∧ 𝑣∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑤) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅))
53		df-br 3765	. . . . . 6 ⊢ (𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑤 ↔ ⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅)
54	24, 47	opex 3966	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ V
55		eliin 3662	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ V → (⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ 𝑅))
56	54, 55	ax-mp 7	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ 𝑅)
57	53, 56	bitri 173	. . . . 5 ⊢ (𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ 𝑅)
58	45, 52, 57	3imtr4g 194	. . . 4 ⊢ ((∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → ((𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑣 ∧ 𝑣∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑤) → 𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑤))
59	58	imp 115	. . 3 ⊢ (((∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) ∧ (𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑣 ∧ 𝑣∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑤)) → 𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑤)
60		simpl 102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → 𝑅 Er 𝐵)
61		simpr 103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → 𝑢 ∈ 𝐵)
62	60, 61	erref 6126	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → 𝑢𝑅𝑢)
63		df-br 3765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢𝑅𝑢 ↔ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅)
64	62, 63	sylib 127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅)
65	64	expcom 109	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐵 → (𝑅 Er 𝐵 → ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
66	65	ralimdv 2388	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
67	66	com12 27	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 → (𝑢 ∈ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
68	67	adantl 262	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → (𝑢 ∈ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
69		r19.26 2441	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅 Er 𝐵 ∧ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
70		r19.2m 3309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅 Er 𝐵 ∧ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅 Er 𝐵 ∧ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
71	24, 24	opeldm 4538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅 → 𝑢 ∈ dom 𝑅)
72		erdm 6116	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 Er 𝐵 → dom 𝑅 = 𝐵)
73	72	eleq2d 2107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 Er 𝐵 → (𝑢 ∈ dom 𝑅 ↔ 𝑢 ∈ 𝐵))
74	73	biimpa 280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ dom 𝑅) → 𝑢 ∈ 𝐵)
75	71, 74	sylan2 270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Er 𝐵 ∧ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅) → 𝑢 ∈ 𝐵)
76	75	rexlimivw 2429	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅 Er 𝐵 ∧ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅) → 𝑢 ∈ 𝐵)
77	70, 76	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅 Er 𝐵 ∧ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅)) → 𝑢 ∈ 𝐵)
78	77	ex 108	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅 Er 𝐵 ∧ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅) → 𝑢 ∈ 𝐵))
79	69, 78	syl5bir 142	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅) → 𝑢 ∈ 𝐵))
80	79	expdimp 246	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅 → 𝑢 ∈ 𝐵))
81	68, 80	impbid 120	. . . 4 ⊢ ((∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → (𝑢 ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
82		df-br 3765	. . . . 5 ⊢ (𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑢 ↔ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅)
83	24, 24	opex 3966	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ V
84		eliin 3662	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ V → (⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
85	83, 84	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅)
86	82, 85	bitri 173	. . . 4 ⊢ (𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑢 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅)
87	81, 86	syl6bbr 187	. . 3 ⊢ ((∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → (𝑢 ∈ 𝐵 ↔ 𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑢))
88	14, 36, 59, 87	iserd 6132	. 2 ⊢ ((∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵)
89	5, 88	sylanbr 269	1 ⊢ ((∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98  ∃wex 1381   ∈ wcel 1393  ∀wral 2306  ∃wrex 2307  Vcvv 2557   ⊆ wss 2917  ⟨cop 3378  ∩ ciin 3658   class class class wbr 3764   × cxp 4343  dom cdm 4345  Rel wrel 4350   Er wer 6103

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-iin 3660  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-er 6106

This theorem is referenced by:  riinerm  6179