ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  distrpig GIF version

Theorem distrpig 6431
Description: Multiplication of positive integers is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
distrpig ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶)))

Proof of Theorem distrpig
StepHypRef Expression
1 pinn 6407 . . 3 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
2 pinn 6407 . . 3 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
3 pinn 6407 . . 3 (𝐶N𝐶 ∈ ω)
4 nndi 6065 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴 ·𝑜 (𝐵 +𝑜 𝐶)) = ((𝐴 ·𝑜 𝐵) +𝑜 (𝐴 ·𝑜 𝐶)))
51, 2, 3, 4syl3an 1177 . 2 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴 ·𝑜 (𝐵 +𝑜 𝐶)) = ((𝐴 ·𝑜 𝐵) +𝑜 (𝐴 ·𝑜 𝐶)))
6 addclpi 6425 . . . . 5 ((𝐵N𝐶N) → (𝐵 +N 𝐶) ∈ N)
7 mulpiord 6415 . . . . 5 ((𝐴N ∧ (𝐵 +N 𝐶) ∈ N) → (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 ·𝑜 (𝐵 +N 𝐶)))
86, 7sylan2 270 . . . 4 ((𝐴N ∧ (𝐵N𝐶N)) → (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 ·𝑜 (𝐵 +N 𝐶)))
9 addpiord 6414 . . . . . 6 ((𝐵N𝐶N) → (𝐵 +N 𝐶) = (𝐵 +𝑜 𝐶))
109oveq2d 5528 . . . . 5 ((𝐵N𝐶N) → (𝐴 ·𝑜 (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 ·𝑜 (𝐵 +𝑜 𝐶)))
1110adantl 262 . . . 4 ((𝐴N ∧ (𝐵N𝐶N)) → (𝐴 ·𝑜 (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 ·𝑜 (𝐵 +𝑜 𝐶)))
128, 11eqtrd 2072 . . 3 ((𝐴N ∧ (𝐵N𝐶N)) → (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 ·𝑜 (𝐵 +𝑜 𝐶)))
13123impb 1100 . 2 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 ·𝑜 (𝐵 +𝑜 𝐶)))
14 mulclpi 6426 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) ∈ N)
15 mulclpi 6426 . . . . 5 ((𝐴N𝐶N) → (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N)
16 addpiord 6414 . . . . 5 (((𝐴 ·N 𝐵) ∈ N ∧ (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶)) = ((𝐴 ·N 𝐵) +𝑜 (𝐴 ·N 𝐶)))
1714, 15, 16syl2an 273 . . . 4 (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐴N𝐶N)) → ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶)) = ((𝐴 ·N 𝐵) +𝑜 (𝐴 ·N 𝐶)))
18 mulpiord 6415 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐵))
19 mulpiord 6415 . . . . 5 ((𝐴N𝐶N) → (𝐴 ·N 𝐶) = (𝐴 ·𝑜 𝐶))
2018, 19oveqan12d 5531 . . . 4 (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐴N𝐶N)) → ((𝐴 ·N 𝐵) +𝑜 (𝐴 ·N 𝐶)) = ((𝐴 ·𝑜 𝐵) +𝑜 (𝐴 ·𝑜 𝐶)))
2117, 20eqtrd 2072 . . 3 (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐴N𝐶N)) → ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶)) = ((𝐴 ·𝑜 𝐵) +𝑜 (𝐴 ·𝑜 𝐶)))
22213impdi 1190 . 2 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶)) = ((𝐴 ·𝑜 𝐵) +𝑜 (𝐴 ·𝑜 𝐶)))
235, 13, 223eqtr4d 2082 1 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  w3a 885   = wceq 1243  wcel 1393  ωcom 4313  (class class class)co 5512   +𝑜 coa 5998   ·𝑜 comu 5999  Ncnpi 6370   +N cpli 6371   ·N cmi 6372
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404
This theorem is referenced by:  addcmpblnq  6465  addassnqg  6480  distrnqg  6485  ltanqg  6498  ltexnqq  6506
  Copyright terms: Public domain W3C validator