Theorem diffifi 6351

Description: Subtracting one finite set from another produces a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
diffifi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem diffifi

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 905	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
2		simp1 904	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
3		simp3 906	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
4		sseq1 2966	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑤 ⊆ 𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
5	4	anbi2d 437	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ⊆ 𝐴)))
6		difeq2 3056	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝐴 ∖ 𝑤) = (𝐴 ∖ ∅))
7	6	eleq1d 2106	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝐴 ∖ 𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin))
8	5, 7	imbi12d 223	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin)))
9		sseq1 2966	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑦 ⊆ 𝐴))
10	9	anbi2d 437	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)))
11		difeq2 3056	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝐴 ∖ 𝑤) = (𝐴 ∖ 𝑦))
12	11	eleq1d 2106	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝐴 ∖ 𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin))
13	10, 12	imbi12d 223	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)))
14		sseq1 2966	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑤 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
15	14	anbi2d 437	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)))
16		difeq2 3056	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐴 ∖ 𝑤) = (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})))
17	16	eleq1d 2106	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐴 ∖ 𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin))
18	15, 17	imbi12d 223	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)))
19		sseq1 2966	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → (𝑤 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
20	19	anbi2d 437	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))
21		difeq2 3056	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → (𝐴 ∖ 𝑤) = (𝐴 ∖ 𝐵))
22	21	eleq1d 2106	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → ((𝐴 ∖ 𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin))
23	20, 22	imbi12d 223	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)))
24		dif0 3294	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∖ ∅) = 𝐴
25	24	eleq1i 2103	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin)
26	25	biimpri 124	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin)
27	26	adantr 261	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin)
28		difun1 3197	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) = ((𝐴 ∖ 𝑦) ∖ {𝑧})
29		simprl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
30		simprr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
31	30	unssad 3120	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
32		simplr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin))
33	29, 31, 32	mp2and 409	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)
34		vsnid 3403	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ {𝑧}
35		simprr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
36	35	unssbd 3121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
37	36	sseld 2944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑧 ∈ {𝑧} → 𝑧 ∈ 𝐴))
38	34, 37	mpi 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
39	38	adantllr 450	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
40		simpllr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
41	39, 40	eldifd 2928	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
42		diffisn 6350	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → ((𝐴 ∖ 𝑦) ∖ {𝑧}) ∈ Fin)
43	33, 41, 42	syl2anc 391	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ((𝐴 ∖ 𝑦) ∖ {𝑧}) ∈ Fin)
44	28, 43	syl5eqel 2124	. . . . 5 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)
45	44	exp31 346	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)))
46	8, 13, 18, 23, 27, 45	findcard2s 6347	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin))
47	46	imp 115	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
48	1, 2, 3, 47	syl12anc 1133	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 885   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   ∖ cdif 2914   ∪ cun 2915   ⊆ wss 2917  ∅c0 3224  {csn 3375  Fincfn 6221

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-er 6106  df-en 6222  df-fin 6224

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