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Theorem hbae 1606
Description: All variables are effectively bound in an identical variable specifier. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Revised by NM, 3-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
hbae  |-  ( A. x  x  =  y  ->  A. z A. x  x  =  y )

Proof of Theorem hbae
StepHypRef Expression
1 ax12or 1403 . . . 4  |-  ( A. z  z  =  x  \/  ( A. z  z  =  y  \/  A. z ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
) )
2 ax10o 1603 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. x  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
32alequcoms 1409 . . . . 5  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. x  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
4 ax10o 1603 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. x  x  =  y  ->  A. y  x  =  y )
)
54pm2.43i 43 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  x  =  y  ->  A. y  x  =  y )
6 ax10o 1603 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( A. y  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
75, 6syl5 28 . . . . . . 7  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( A. x  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
87alequcoms 1409 . . . . . 6  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( A. x  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
9 ax-4 1400 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  x  =  y  ->  x  =  y )
109imim1i 54 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )  ->  ( A. x  x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) )
1110sps 1430 . . . . . 6  |-  ( A. z ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )  ->  ( A. x  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
128, 11jaoi 636 . . . . 5  |-  ( ( A. z  z  =  y  \/  A. z
( x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) )  -> 
( A. x  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
133, 12jaoi 636 . . . 4  |-  ( ( A. z  z  =  x  \/  ( A. z  z  =  y  \/  A. z ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
) )  ->  ( A. x  x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) )
141, 13ax-mp 7 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
1514a5i 1435 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  A. x A. z  x  =  y )
16 ax-7 1337 . 2  |-  ( A. x A. z  x  =  y  ->  A. z A. x  x  =  y )
1715, 16syl 14 1  |-  ( A. x  x  =  y  ->  A. z A. x  x  =  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 629   A.wal 1241    = wceq 1243
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427
This theorem depends on definitions:  df-bi 110
This theorem is referenced by:  nfae  1607  hbaes  1608  hbnae  1609  dral1  1618  dral2  1619  drex2  1620  drex1  1679  aev  1693  sbcomxyyz  1846  exists1  1996
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