Theorem orc 155

Description: Or introduction.

Hypotheses

Ref	Expression
olc.1	⊢ A:∗
olc.2	⊢ B:∗

Assertion

Ref	Expression
orc	⊢ A⊧[A ∨ B]

Proof of Theorem orc

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wim 127	. . . 4 ⊢ ⇒ :(∗ → (∗ → ∗))
2		olc.1	. . . . 5 ⊢ A:∗
3		wv 58	. . . . 5 ⊢ x:∗:∗
4	1, 2, 3	wov 64	. . . 4 ⊢ [A ⇒ x:∗]:∗
5		olc.2	. . . . . 6 ⊢ B:∗
6	1, 5, 3	wov 64	. . . . 5 ⊢ [B ⇒ x:∗]:∗
7	1, 6, 3	wov 64	. . . 4 ⊢ [[B ⇒ x:∗] ⇒ x:∗]:∗
8	1, 4, 7	wov 64	. . 3 ⊢ [[A ⇒ x:∗] ⇒ [[B ⇒ x:∗] ⇒ x:∗]]:∗
9		wtru 40	. . . 4 ⊢ ⊤:∗
10	2, 4	simpl 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (A, [A ⇒ x:∗])⊧A
11	2, 4	simpr 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (A, [A ⇒ x:∗])⊧[A ⇒ x:∗]
12	3, 10, 11	mpd 146	. . . . . . . 8 ⊢ (A, [A ⇒ x:∗])⊧x:∗
13	12, 6	adantr 50	. . . . . . 7 ⊢ ((A, [A ⇒ x:∗]), [B ⇒ x:∗])⊧x:∗
14	13	ex 148	. . . . . 6 ⊢ (A, [A ⇒ x:∗])⊧[[B ⇒ x:∗] ⇒ x:∗]
15	14	ex 148	. . . . 5 ⊢ A⊧[[A ⇒ x:∗] ⇒ [[B ⇒ x:∗] ⇒ x:∗]]
16	15	eqtru 76	. . . 4 ⊢ A⊧[⊤ = [[A ⇒ x:∗] ⇒ [[B ⇒ x:∗] ⇒ x:∗]]]
17	9, 16	eqcomi 70	. . 3 ⊢ A⊧[[[A ⇒ x:∗] ⇒ [[B ⇒ x:∗] ⇒ x:∗]] = ⊤]
18	8, 17	leq 81	. 2 ⊢ A⊧[λx:∗ [[A ⇒ x:∗] ⇒ [[B ⇒ x:∗] ⇒ x:∗]] = λx:∗ ⊤]
19		wor 130	. . . . 5 ⊢ ∨ :(∗ → (∗ → ∗))
20	19, 2, 5	wov 64	. . . 4 ⊢ [A ∨ B]:∗
21	2, 5	orval 137	. . . 4 ⊢ ⊤⊧[[A ∨ B] = (∀λx:∗ [[A ⇒ x:∗] ⇒ [[B ⇒ x:∗] ⇒ x:∗]])]
22	8	wl 59	. . . . 5 ⊢ λx:∗ [[A ⇒ x:∗] ⇒ [[B ⇒ x:∗] ⇒ x:∗]]:(∗ → ∗)
23	22	alval 132	. . . 4 ⊢ ⊤⊧[(∀λx:∗ [[A ⇒ x:∗] ⇒ [[B ⇒ x:∗] ⇒ x:∗]]) = [λx:∗ [[A ⇒ x:∗] ⇒ [[B ⇒ x:∗] ⇒ x:∗]] = λx:∗ ⊤]]
24	20, 21, 23	eqtri 85	. . 3 ⊢ ⊤⊧[[A ∨ B] = [λx:∗ [[A ⇒ x:∗] ⇒ [[B ⇒ x:∗] ⇒ x:∗]] = λx:∗ ⊤]]
25	2, 24	a1i 28	. 2 ⊢ A⊧[[A ∨ B] = [λx:∗ [[A ⇒ x:∗] ⇒ [[B ⇒ x:∗] ⇒ x:∗]] = λx:∗ ⊤]]
26	18, 25	mpbir 77	1 ⊢ A⊧[A ∨ B]

Syntax hints:  tv 1  ∗hb 3  kc 5  λkl 6   = ke 7  ⊤kt 8  [kbr 9  kct 10  ⊧wffMMJ2 11  wffMMJ2t 12   ⇒ tim 111  ∀tal 112   ∨ tor 114

This theorem was proved from axioms:  ax-syl 15  ax-jca 17  ax-simpl 20  ax-simpr 21  ax-id 24  ax-trud 26  ax-cb1 29  ax-cb2 30  ax-refl 39  ax-eqmp 42  ax-ded 43  ax-ceq 46  ax-beta 60  ax-distrc 61  ax-leq 62  ax-distrl 63  ax-hbl1 93  ax-17 95  ax-inst 103

This theorem depends on definitions:  df-ov 65  df-al 116  df-an 118  df-im 119  df-or 122

This theorem is referenced by:  exmid  186