Theorem ax7 196

Description: Axiom of Quantifier Commutation. Axiom scheme C6' in [Megill] p. 448 (p. 16 of the preprint).

Hypothesis

Ref	Expression
ax7.1	⊢ R:∗

Assertion

Ref	Expression
ax7	⊢ ⊤⊧[(∀λx:α (∀λy:α R)) ⇒ (∀λy:α (∀λx:α R))]

Distinct variable group:   x,y,α

Proof of Theorem ax7

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wal 124	. . . . . . . 8 ⊢ ∀:((α → ∗) → ∗)
2		ax7.1	. . . . . . . . 9 ⊢ R:∗
3	2	wl 59	. . . . . . . 8 ⊢ λy:α R:(α → ∗)
4	1, 3	wc 45	. . . . . . 7 ⊢ (∀λy:α R):∗
5	4	ax4 140	. . . . . 6 ⊢ (∀λx:α (∀λy:α R))⊧(∀λy:α R)
6	2	ax4 140	. . . . . 6 ⊢ (∀λy:α R)⊧R
7	5, 6	syl 16	. . . . 5 ⊢ (∀λx:α (∀λy:α R))⊧R
8	4	wl 59	. . . . . 6 ⊢ λx:α (∀λy:α R):(α → ∗)
9		wv 58	. . . . . 6 ⊢ z:α:α
10	1, 9	ax-17 95	. . . . . 6 ⊢ ⊤⊧[(λx:α ∀z:α) = ∀]
11	4, 9	ax-hbl1 93	. . . . . 6 ⊢ ⊤⊧[(λx:α λx:α (∀λy:α R)z:α) = λx:α (∀λy:α R)]
12	1, 8, 9, 10, 11	hbc 100	. . . . 5 ⊢ ⊤⊧[(λx:α (∀λx:α (∀λy:α R))z:α) = (∀λx:α (∀λy:α R))]
13	7, 12	alrimi 170	. . . 4 ⊢ (∀λx:α (∀λy:α R))⊧(∀λx:α R)
14	1, 9	ax-17 95	. . . . 5 ⊢ ⊤⊧[(λy:α ∀z:α) = ∀]
15	2, 9	ax-hbl1 93	. . . . . . 7 ⊢ ⊤⊧[(λy:α λy:α Rz:α) = λy:α R]
16	1, 3, 9, 14, 15	hbc 100	. . . . . 6 ⊢ ⊤⊧[(λy:α (∀λy:α R)z:α) = (∀λy:α R)]
17	4, 9, 16	hbl 102	. . . . 5 ⊢ ⊤⊧[(λy:α λx:α (∀λy:α R)z:α) = λx:α (∀λy:α R)]
18	1, 8, 9, 14, 17	hbc 100	. . . 4 ⊢ ⊤⊧[(λy:α (∀λx:α (∀λy:α R))z:α) = (∀λx:α (∀λy:α R))]
19	13, 18	alrimi 170	. . 3 ⊢ (∀λx:α (∀λy:α R))⊧(∀λy:α (∀λx:α R))
20		wtru 40	. . 3 ⊢ ⊤:∗
21	19, 20	adantl 51	. 2 ⊢ (⊤, (∀λx:α (∀λy:α R)))⊧(∀λy:α (∀λx:α R))
22	21	ex 148	1 ⊢ ⊤⊧[(∀λx:α (∀λy:α R)) ⇒ (∀λy:α (∀λx:α R))]

Syntax hints:  tv 1   → ht 2  ∗hb 3  kc 5  λkl 6  ⊤kt 8  [kbr 9  ⊧wffMMJ2 11  wffMMJ2t 12   ⇒ tim 111  ∀tal 112

This theorem was proved from axioms:  ax-syl 15  ax-jca 17  ax-simpl 20  ax-simpr 21  ax-id 24  ax-trud 26  ax-cb1 29  ax-cb2 30  ax-refl 39  ax-eqmp 42  ax-ded 43  ax-ceq 46  ax-beta 60  ax-distrc 61  ax-leq 62  ax-distrl 63  ax-hbl1 93  ax-17 95  ax-inst 103  ax-eta 165

This theorem depends on definitions:  df-ov 65  df-al 116  df-an 118  df-im 119

This theorem is referenced by: (None)