Theorem ax4e 158

Description: Existential introduction.

Hypotheses

Ref	Expression
ax4e.1	⊢ F:(α → ∗)
ax4e.2	⊢ A:α

Assertion

Ref	Expression
ax4e	⊢ (FA)⊧(∃F)

Proof of Theorem ax4e

Dummy variables x p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wv 58	. . . . 5 ⊢ p:∗:∗
2		ax4e.1	. . . . . . 7 ⊢ F:(α → ∗)
3		ax4e.2	. . . . . . 7 ⊢ A:α
4	2, 3	wc 45	. . . . . 6 ⊢ (FA):∗
5		wal 124	. . . . . . 7 ⊢ ∀:((α → ∗) → ∗)
6		wim 127	. . . . . . . . 9 ⊢ ⇒ :(∗ → (∗ → ∗))
7		wv 58	. . . . . . . . . 10 ⊢ x:α:α
8	2, 7	wc 45	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fx:α):∗
9	6, 8, 1	wov 64	. . . . . . . 8 ⊢ [(Fx:α) ⇒ p:∗]:∗
10	9	wl 59	. . . . . . 7 ⊢ λx:α [(Fx:α) ⇒ p:∗]:(α → ∗)
11	5, 10	wc 45	. . . . . 6 ⊢ (∀λx:α [(Fx:α) ⇒ p:∗]):∗
12	4, 11	simpl 22	. . . . 5 ⊢ ((FA), (∀λx:α [(Fx:α) ⇒ p:∗]))⊧(FA)
13	7, 3	weqi 68	. . . . . . . . . 10 ⊢ [x:α = A]:∗
14	13	id 25	. . . . . . . . 9 ⊢ [x:α = A]⊧[x:α = A]
15	2, 7, 14	ceq2 80	. . . . . . . 8 ⊢ [x:α = A]⊧[(Fx:α) = (FA)]
16	6, 8, 1, 15	oveq1 89	. . . . . . 7 ⊢ [x:α = A]⊧[[(Fx:α) ⇒ p:∗] = [(FA) ⇒ p:∗]]
17	9, 3, 16	cla4v 142	. . . . . 6 ⊢ (∀λx:α [(Fx:α) ⇒ p:∗])⊧[(FA) ⇒ p:∗]
18	17, 4	adantl 51	. . . . 5 ⊢ ((FA), (∀λx:α [(Fx:α) ⇒ p:∗]))⊧[(FA) ⇒ p:∗]
19	1, 12, 18	mpd 146	. . . 4 ⊢ ((FA), (∀λx:α [(Fx:α) ⇒ p:∗]))⊧p:∗
20	19	ex 148	. . 3 ⊢ (FA)⊧[(∀λx:α [(Fx:α) ⇒ p:∗]) ⇒ p:∗]
21	20	alrimiv 141	. 2 ⊢ (FA)⊧(∀λp:∗ [(∀λx:α [(Fx:α) ⇒ p:∗]) ⇒ p:∗])
22	2	exval 133	. . 3 ⊢ ⊤⊧[(∃F) = (∀λp:∗ [(∀λx:α [(Fx:α) ⇒ p:∗]) ⇒ p:∗])]
23	4, 22	a1i 28	. 2 ⊢ (FA)⊧[(∃F) = (∀λp:∗ [(∀λx:α [(Fx:α) ⇒ p:∗]) ⇒ p:∗])]
24	21, 23	mpbir 77	1 ⊢ (FA)⊧(∃F)

Syntax hints:  tv 1   → ht 2  ∗hb 3  kc 5  λkl 6   = ke 7  [kbr 9  kct 10  ⊧wffMMJ2 11  wffMMJ2t 12   ⇒ tim 111  ∀tal 112  ∃tex 113

This theorem was proved from axioms:  ax-syl 15  ax-jca 17  ax-simpl 20  ax-simpr 21  ax-id 24  ax-trud 26  ax-cb1 29  ax-cb2 30  ax-refl 39  ax-eqmp 42  ax-ded 43  ax-ceq 46  ax-beta 60  ax-distrc 61  ax-leq 62  ax-distrl 63  ax-hbl1 93  ax-17 95  ax-inst 103

This theorem depends on definitions:  df-ov 65  df-al 116  df-an 118  df-im 119  df-ex 121

This theorem is referenced by:  cla4ev  159  19.8a  160  dfex2  185  axrep  207